« Problemas Fundamentais – Parte II
A Lenda do Problema Insolúvel »

Unicidade do Elemento Neutro

By Francisco

Dado um grupo (G, \cdot) , sabe-se que existe (por definição!) um elemento e \in G tal que

(1) e \cdot g = g \cdot e = g para todo g \in G .

Tal elemento é único! De fato, se \widehat{e} \in G possui a propriedade (1), ou seja,

(2) \widehat{e} \cdot g = g \cdot \widehat{e} = g , para todo g \in G ,

temos então que e = \widehat{e} \cdot e = \widehat{e} , onde a primeira igualdade é obtida tomando-se g = e em (2) e a segunda tomando-se g = \widehat{e} em (1).

Nunca vi esta prova em nenhum livro de álgebra (abstrata). Talvez por ser muito simples!!! Você, leitor, seria capaz de postar uma prova para a unicidade de um elemento inverso de g \in G ? Isto é, dado g \in G , mostrar que existe único h \in G tal que g \cdot h = h \cdot g = e . Observe que queremos a prova somente da unicidade, pois a existência é dada pela definição de grupo.

Tags: , , ,

Essa entrada foi postada em 30 / Março / 2008 às 18:16 sob a(s) categoria(s) Álgebra. Você pode acompanhar as respostas desse post através do RSS 2.0feed. Você pode responder, ou rastrear de seu próprio site.

13 Respostas para “Unicidade do Elemento Neutro”

  1. Éder Disse:
    6 / Maio / 2008 às 10:09 | Responder

    Suponha que esista h e k em G tais

    hg = e = gh e kg = e = gk.

    Então,

    k = ke = k(gh) = (kg)h = eh = h.

    Está certo?

  2. morfismo Disse:
    8 / Maio / 2008 às 09:24 | Responder

    Olá Éder!

    Sua prova está correta….

    Vc supôs que existem “dois” inversos para um mesmo elemnto (do grupo G) fixo, e mostrou que são iguais.

    É isso aí!!!

  3. FABRICIO Disse:
    12 / Novembro / 2008 às 11:03 | Responder

    QUAL SERIA OS PASSOS PROVA DO ELEMENTO NEUTRO PARA UMA OPERAÇAO

    X*Y= x+ ky-1

  4. Francisco Disse:
    12 / Novembro / 2008 às 14:54 | Responder

    vamos ver se entendi, @Fabricio:

    seu grupo (abeliano ou não!?) tem operação + e agora você define uma nova operação: x*y = x + ky – 1 ?

    Perguntas:

    # k é um número inteiro, natural, real, etc? E o que significa ky?

    # 1 é o elemento neutro do grupo? Se for, x + ky – 1 = x + ky !

    # x e y são números reais?

  5. FABRICIO Disse:
    18 / Novembro / 2008 às 10:54 | Responder

    seja A= ZxZ. definir o I: (a,b)+(c,d)= (a+c, b+d) II: (a,b).(c,d)= (ac,bd), para todo a,b,c,d pertencente aos Z. como provar o elemento neutro eo simetrico neste caso?

  6. Francisco Disse:
    18 / Novembro / 2008 às 17:52 | Responder

    Olá @FABRICIO,

    observe que:

    x. (0,0) + (a,b) = (0+a,0+b) = (a,b) => (0,0) é elemento neutro de A.
    x. para todo (a,b) em A, considere o elemento (-a,-b) e daí (a,b) + (-a,-b) = (a – a, b – b) = (0,0) => (-a,-b) é o inverso aditivo de (a,b).

    Observe que usamos apenas a estrutura de grupo (abeliano) de Z.

    Abs

  7. fabricio Disse:
    19 / Novembro / 2008 às 10:47 | Responder

    entao seja A= ZxZ. II: (a,b).(c,d)= (ac,bd), para todo a,b,c,d pertencente aos Z.

    (a,b).(e,e)=(a,b) => (e,e)=(a,b)/(a,b) => (e,e)= (1,1)

    sendo “e” o elemento neutro.

    pois na multiplicação de operaçoes o elemento neutro dos Z,Q.N e igual a 1.

  8. Francisco Disse:
    19 / Novembro / 2008 às 14:44 | Responder

    caro @Fabrício,

    não sei se vc lembra mas quando se encontra um elemento neutro de um grupo, em particular para (A,.) mostra-se que este é único (leia o post que contém estes comentários…). Logo, como

    (a,b)(1,1) = (a.1,b.1) = (a,b), quaisquer que sejam a e b em Z,

    então (1,1) é o elemento netro do grupo multiplicativo (A,.).

    Faço este observação pq vc cometeu um pequeno engano na sua solução acima:

    “(a,b).(e,e)=(a,b) => (e,e)=(a,b)/(a,b)”

    esta implicação não verdadeira até que vc tenha prova que existe um elemento neutro, pois só faz sentido em falar de inverso (ou “divisão”), quando se tem o elemento neutro.

    OK!?

    Abs

  9. tayane Disse:
    6 / Abril / 2009 às 21:18 | Responder

    gente quero ajuda
    nessa pergunta de matematica

    essa pergunta
    o elemento neutro da mutiplicação eo numero 1???????

    • Francisco Disse:
      7 / Abril / 2009 às 12:13 | Responder

      Tayane,

      na teoria de grupos, tal elemento é denotado por e, já na teoria de anéis, por 1.

      Quando o grupo é abeliano (= comutativo), a operação do grupo é indicada por + e o elemento neutro por 0.

      Lembre-se que são apenas convensões!

  10. SORRY Disse:
    14 / Maio / 2009 às 12:46 | Responder

    DA PARA LAPIDAR O DESENVOLVIMENTO DESSAS QUESTÃO

  11. SORRY Disse:
    14 / Maio / 2009 às 12:51 | Responder

    COMO RESOLVER ZxZ é grupo em relação a alguma das seguintes leis:

    a) (a,b)x(c,d)=(a+c,b+d)
    b) (a,b)x(c,d)=(a.c,b.d)

    por favor me responda

    • Francisco Disse:
      15 / Maio / 2009 às 17:34 | Responder

      Mostrando que o conjunto ZxZ com uma das operações (separadamente) acima satisfaz as seguinte propriedades:

      # Existe ‘(e,f)’ em ZxZ tal que (e,f) x (a,b) = (a,b) x (e,f) = (a,b), para todo (a,b) em ZxZ
      # Associatividade
      # Para cada (a,b) de ZxZ, existe (a’,b’) tal que (a,b) x (a’,b’) = (a’,b’) x (a,b) = (e,f)

      Só isso! :)

Deixe um comentário