Comutatividade da adição em Anéis

By Francisco

O intuito deste artigo é mostrar que a exigência da comutatividade da operação de adição (+) em um anel $R$ qualquer é desnecessária, desde que o anel tenha unidade, ou seja, a propriedade $a + b = b + a$ pode ser provada a partir dos outros axiomas.

De fato, dados $a , b \in R$ , expandiremos o produto $(1+a)(1+b)$ de duas formas diferentes, usando as propriedades distributiva e associativa do anel.

» $(1+a)(1+b) = (1+a) \cdot 1 + (1+a) \cdot b = (1 \cdot 1 + a \cdot 1) + (1 \cdot b + a \cdot b) =$

$= (1+a) + (b + ab) = 1 + [(a+b)+ab]$ •

» $(1+a)(1+b) = 1 \cdot (1+b) + a \cdot (1+b) = (1 \cdot 1+1 \cdot b) + (a \cdot 1 + a \cdot b) =$

$= (1 + b) + (a + ab) = 1 + [(b + a) + ab]$ ••

Igualando • e ••

$1 + [(a+b)+ab] = 1 + [(b + a) + ab]$ .

Como $R$ é um grupo sobre a adição (+), podemos cancelar $1$ do lado esquerdo e $ab$ do lado direito, de cada lado da igualdade acima. Donde, obteremos

$a + b = b + a$ .

Você leitor seria capaz de dar uma outra solução para o problema acima?

Tags: anel, Álgebra, matemática

Essa entrada foi postada em 28 / Junho / 2008 às 22:09 sob a(s) categoria(s) Álgebra. Você pode acompanhar as respostas desse post através do RSS 2.0feed. Você pode responder, ou rastrear de seu próprio site.

Morfismo

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