28 Mar

Re: Categoria dos anéis com involução [Atualizado]

Postado por Francisco em Sala de Estudo, Álgebra. Etiquetado:, , , .

No artigo Categoria dos anéis com involução fizemos a pergunta seguinte:

Será que existem anéis com involução (R, j), (R, i), (S, k) e (S, l) e um homomorfismo de anéis com involução, f, onde f \colon (R,j) \to (S,k) e f \colon (R,i) \to (S,l) com j \neq i ou k \neq l?

A resposta é SIM!

De fato, sejam R = S = M_n({\sf k}) o anel das matrizes, sobre um corpo {\sf k}, de ordem n>1 , 1_R \colon R \to R o homomorfismo (de anéis) identidade e (-)^t \colon R \to R a função definida por:

(-)^t(A) := A^t

onde A^t denota a transposta da matriz A . Não é dificil verificar que (-)^t é uma involução.

Nestas condições, tomemos os seguintes homomorfismos de anéis com involução:

1_R \colon (R, 1_R) \to (R, 1_R)   e  1_R \colon (R, (-)^t) \to (R, (-)^t) ,

onde aqui estou considerando 1_R como homo de anéis e como uma involução.

NOTA: Ao terminar este artigo, encontrei um erro… mas para não perder meu trabalho, resolvi publicá-lo e deixar que vocês encontrem-o!

Ou seja, a pergunta acima continua sem resposta…

[Atualização: 17-4-09 às 11h10] Como já encontrei uma resposta para a pergunta acima, vou revelar o erro neste contra-exemplo:

Erro: Aplicação identidade não é um homomorfismo entre anéis com involução que não sejam comutativos (verifique isso!).

Solução: Com base no erro acima, não foi tão complicado “arrumar” este contra-exemplo. De fato, basta trocar o anel da matrizes pelo anel do números complexos e a aplicação (-)^t pela aplicação, de \mathbb{C} em \mathbb{C} , que associa a cada número complexo o seu conjugado. (Verifique isso também!).

Espero que desta vez não haja erros!

20 Mar

Categoria dos anéis com involução

Postado por Francisco em Sala de Estudo, Álgebra. Etiquetado:, , , , , .

Vou continuar falando de alguns problemas que “ando” encontrando no meu breve estudo sobre Teoria de Categorias.

Antes de mais nada, acho que seria interessante lembrar ao leitor alguns conceitos. Para tanto, iniciarei com duas definições:

Definição Sejam R e S dois aneis (com unidade). Uma aplicação f \colon R \to S é chamada de anti-homomorfismo se ela possui as três seguintes propriedades:

  1. f(r+s) = f(r) + f(s) , para todos r, s \in R
  2. f(rs) = f(s) f(r) , para todos r, s \in R
  3. f(1_R) = 1_S

Observe que a única diferença entre um anti-homomorfismo e um homomorfismo é a propriedade 2.

Definição Um anel com involução é uma dupla (R, j) , onde R é um anel (com unidade) e  j \colon R \to R é um anti-homorfismo cujo quadrado é igual a aplicação identidade de R , ou seja, j^2 = id_R . (O automorfismo j é chamado de involução sobre o anel R ) Um homomorfismo de anéis com involução (R, j) e (S, k) é uma aplicação f \colon R \to S satisfazendo as duas seguintes condições:

  1. f é homomorfismo de anéis
  2. f \circ j = k \circ f

Com as definições acima, estamos aptos a apresentar nosso problema:

Problema Será que existem anéis com involução (R, j), (R, i), (S, k) e (S, l) e um homomorfismo de anéis com involução, f, onde f \colon (R,j) \to (S,k) e f \colon (R,i) \to (S,l) com j \neq i ou k \neq l?

Note que podemos reformular este problema acima da seguinte maneira:

Será que existem homomorfismos de anéis f \colon R \to S e involuções i,j \colon R \to R e k,l \colon S \to S tais que

f \circ j = k \circ f e f \circ i = l \circ f, com (j,k) \neq (i,l) ?

Mas o leitor pode está se perguntando o que isto tem a ver com teoria de categorias! É fácil explicar:

Se este problema possui um não como resposta podemos concluir, por exemplo, que os seguintes dados formam um categoria:

  • Objetos: A classe dos anéis com involução;
  • Morfismos: Os homomorfismos de anéis com involução;
  • Composição: Obtida naturalmente pela composição dos homomorfismos de anéis;
  • Identidade: id_{(R,j)} = id_R .

Precisamos de um não como resposta ao problema para concluir que hom (X,Y) \cap hom(Z,W) = \emptyset sempre que o par de objetos (X,Y) for diferente do par (Z,W) .

É isso…

16 Mar

Um epi que não é sobrejetivo

Postado por Francisco em Álgebra. Etiquetado:, , , , , , .

Falando ainda sobre a questão da “unicidade” dos contra-exemplos [veja o este post] …

Quando estuda-se Teoria de Categorias temos a oportunidade conhecer os conceitos de epimorfismo (também chamado de epic morphism ou simplesmente epi) e de monomorfismo (também chamado de monic morphism ou simplesmente mono). Por exemplo, na categoria dos conjuntos, muitas vezes denotada por Set, toda sobrejeção (resp., injeção) é um epi (resp., mono). Este resultado também é válido na categorias dos anéis (Ring). Então uma questão natural seria a seguinte: Continue lendo

8 Mar

Ignorância Matemática

Postado por Francisco em Curiosidades. Etiquetado:.

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Como mostra a figura (clique para ver melhor), um tribunal português “reduziu” uma penhora de 1/6 para 1/5. Só vendo, pois de outra forma “ninguém” acreditaria …

[via: De Rerum Natura]

4 Mar

Subgrupo Normal

Postado por Francisco em Álgebra. Etiquetado:, , .

Dentre as várias coisas difíceis na matemática, na minha opinião, os “contra-exemplos” ocupam um lugar de destaque. Em muitos casos, a comunidade matemática sabe da existência de um número pequeno destes para um(a) determinado(a) problema (pergunta).

Nesta última terça-feira (03 de março), depois de uma aula que assisti num curso de álgebra, fiquei inculcado com um contra-exemplo dado pelo professor.

A questão era seguinte: Continue lendo

4 Fev

Fuvest: lista de aprovados [Atualizado]

Postado por Francisco em off-topic. Etiquetado:, , , .

» Veja AQUI a lista de aprovados!

Parabéns André e Caroline!!!! Sucesso….

Não poderia deixar de registrar aqui que o resultado - lista da primeira chamada dos candidatos aprovados no vestibular 2009 - do maior vestibular do país (Brasil), a Fuvest, será divulgado nesta quarta-feira, 04 de fevereiro. 

Os candidatos convocados na primeira chamada deverão fazer a matrícula nos dias 9 ou 10 de fevereiro nos locais e horários indicados no manual do candidato (páginas 60 a 62).

É importante que os candidatos não selecionados na primeira chamada que acompanhem todas as quatro chamadas para matrícula que serão divulgadas nos Postos Oficiais da Fuvest (pág. 2 do manual) e no site oficial da Fuvest (www.fuvest.br). Por exemplo, a segunda chamada será no dia 13 deste mês de fevereiro.

Desejo boa sorte a todos, principalmente aos meus ex-alunos Caroline e André . ;)

√ Atualização (às 11h07): Segundo algumas fontes, o resultado (com a lista de aprovados) será divulgado por volta das 11h30 de hoje. Divulgaremos a lista aqui – lembre-se que o site da Fuvest vai está com um tráfego enorme e a probabilidade de você não consegui acessá-lo vai ser grande.

√ Atualização (às 09h29): Toda a imprensa sabia que a lista de aprovados só seria divulgada por volta das 12h00 de hoje, exceto o site do UOL:

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Será que algum estagiário cometeu o erro?

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