27 Fev

Teorema

Publicado por Francisco.

Em geral, na resolução de alguns problemas usamos teoremas bem “conhecidos”, como do Núcleo e Imagem, da Função Implícita, do Isomorfismo para Anéis, Fundamental da Álgebra, dentre muitos outros. Assim, esta página será dedicada aos enunciados destes. Em apenas alguns casos faremos um arcabouço da prova.

Quando resolvermos algum problema, faremos referência ao nome do teorema sem enunciá-lo, deixando assim as soluções mais enxutas. Caso o leitor não lembre ou até mesmo não conheça o(s) resultado(s), poderá encontrá-lo(s) aqui.

Álgebra

» Proposição: Dado um anel R , então o conjunto

Z(R) = \{z \in R : z \cdot r = r \cdot z , \forall r \in R \}

é um subanel de R .

Prova: (i) É claro que Z(R) é um subconjunto de R ;

(ii) Dado que 0 \cdot r = r \cdot 0 , para todo r \in R , então 0 \in Z(R) ;

(iii) Sejam z, w \in Z(R) . Então

(z - w)r = zr - wr = rz - rw = r(z-w) , para todo r \in R

Assim z - w \in Z(R) ;

(iv) Sejam z, w \in Z(R) . Então

(zw)r = z(wr) = z(rw) = (zr)w = (rz)w = r(zw) , para todo r \in R

Assim zw \in Z(R) .

Portanto, Z(R) é um subanel de R . ♣

Cálculo

» Teorema da Função Inversa: Sejam A \subseteq \mathbb{R}^n aberto e f: A \rightarrow \mathbb{R}^n uma função de classe C^{k} , k ≥ 1. Se x \in A é tal que Jf(x) \neq 0 , então existe um aberto U \subseteq A contendo x de forma que f(U) é um aberto de \mathbb{R}^n e f: U \rightarrow f(U) é um difeomorfismo de classe C^{k} . ♣

2 Respostas to this post.

  1. Publicado por O Início « Morfismo em 29 / Fevereiro / 2008 às 20:43

    [...] ¹Consulte a página Teorema! [...]

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  2. Publicado por Comutatividade da multiplicação em Anéis « Morfismo em 1 / Julho / 2008 às 15:43

    [...] dado que e é um subanel (consulte a página Teorema) de , segue de • que . [...]

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