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Inauguremos esta versão do “Morfismo ↔ Matemática Sem Dúvidas” com um problema de Cálculo Diferencial. Na medida do possível, publicaremos pelo menos um post por semana. O ideal seria um por dia!!! Mas escrever sobre matemáticas leva tempo e temos que ter paciência para selecionar conteúdos que sejam de interesse da maioria.

» Problema: Dada uma função F: \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n contínua, suponha que existam n funções g_1 , . . . , g_n : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} de classe C^1 tais que g_1 \circ F , . . . , g_n \circ F sejam de classe C^1 . Mostre que se dg_1 (F(x)) , ... , dg_n (F(x)) são linearmente independentes para todo x \in \mathbb{R}^m , então a função F é de classe C^1 .

Este problema é uma aplicação do Teorema da Função Inversa (TFI)¹. Na solução, usamos a continuidade da função F para garantir que a imagem inversa, por F , de um aberto de \mathbb{R}^n é um aberto em \mathbb{R}^m . Além disso, usamos o fato de os vetores dg_1 (F(x)) , ... , dg_n (F(x)) formarem um conjunto L.I. para nos assegurar que o Jacobiano de uma função, a ser definida, é diferente de zero [onde o Jacobiano de uma função G em x é dado por JG(x) = det G'(x) ]

» Solução: Considere a função g = (g_1 , ... , g_n): \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n dada por g(y) = (g_1(y) , ... , g_n(y)) , para todo y \in \mathbb{R}^n . Então g é de classe C^1 , pois suas funções coordenadas o são. Agora escrevendo h(x) = g(F(x)) = (g_1(F(x)), ... , g_n(F(x))) tem-se h é de classe C^1 , uma vez que cada h_i = g_i \circ F é de classe C^1 (por hipótese!).

Dado que dg_1 (F(x)) , ... , dg_n (F(x)) são linearmente independentes, para cada x \in \mathbb{R}^m , temos que Jg(F(x)) \neq 0 . Logo, pelo TFI a restrição g|_{F(\mathbb{R}^m)} é um difeomorfismo local de classe C^1 , ou seja, existe um aberto V de F(\mathbb{R}^n) contendo x tal que g: V \rightarrow g(V) é um difeo C^1 , o que implica que a função g^{-1}: g(V) \rightarrow V é de classe C^1 .

Considerando o aberto U = F^{-1}(V) [F é contínua e V é aberto] e sabendo que a composta de funções de classe C^1 é ainda uma função C^1 , então a função g^{-1} \circ h = g^{-1}\circ g \circ F = F é C^1 . \blacksquare

Até a próxima!

¹Consulte a página Teorema !

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