Problemas Fundamentais – Parte II


Hoje, como prometido no ‘post’ anterior, introduziremos os conceitos de números algébricos e transcendentes.

Dada uma equação tal como x² – 2 = 0, em vez de considerarmos isoladamente cada raiz, consideraremos o conjunto dos números que podem ser obtidos a partir dessa raiz, com operações racionais.Tal conjunto de números será um corpo, que aparece como extensão do corpo dos números racionais. Com esta idéia se consideram sistematicamente as possíveis extensões do corpo \mathbb{Q} dos números racionais. Além disso, será igualmente “fácil” considerar as extensões de qualquer corpo K. Você poderia está se perguntando qual a vantagem de se considerar tais “aumentos” (extensões). Citaremos aqui duas vantagens:

» quando se aplica a corpos K de característica p, há uma possílvel classificação de todos os corpos finitos;

» quando se utiliza para um corpo K(x) de frações do anel de polinômios (sobre o corpo K), é a base da teoria das funções algébricas.

Definição 1: Por extensão F de um corpo K entendemos, simplesmente, todo corpo que contém K como subcorpo.

Tal extensão (ampliação) pode ser gerada a partir de K por certos elementos dele mesmo. O exemplo mais conhecido é do corpo dos números complexos, cujos elementos são da forma a + bi , com a, b \in \mathbb{R} . Por outro lado, o corpo \mathbb{Q}(x) é gerado pelo corpo \mathbb{Q} e o elemnto x . Observe que um mesmo corpo pode ser “gerado” de diversas maneiras. Por exemplo, o corpo \mathbb{Q}(\sqrt{2}) = {a + b \cdot \sqrt{2} : a, b \in \mathbb{Q}} é gerado pela raiz \sqrt{2} da equação x² – 2 = 0. Por outro lado, a equação x² + 4x + 2 = 0, que é distinta da anterior, tem a raiz -2 + \sqrt{2} , a qual gera o mesmo corpo \mathbb{Q}(\sqrt{2}) , pois todo elemento deste corpo pode ser expressado da seguinte forma:

a + b\sqrt{2}= (a + 2b) + b(-2 + \sqrt{2}) .

Aplicando a equação x² + 4x + 2 = 0 o método usual de completamento de quadrados, chegaremos que x² + 4x + 2 = (x + 2)² – 2 = 0, obtendo assim uma “nova” equação y² – 2 = 0 com uma raiz que gera o mesmo corpo.

Definiremos agora o corpo gerado por um elemento:

Definição 2: Dados um corpo K, F um subcorpo de K e c um elemento de K. Consideremos aqueles elementos de K expressados por polinômios da forma

(1) f(c) = a_0 + a_1 c + a_2 c^2 + \cdots + a_n c^n ,

com todo a_i \in F. Todo subdomínio de K que contenha F e c conterá necessariamente todos elementos da forma f(c) . Reciprocamente, o conjunto de tais polinômios é fechado para a soma, subtração e multiplicação. Donde segue que as expressões da forma (1) constituem o subdomínio de K gerado por F e c. Tal subdomínio será denotado por F[c].

Se f(c) e g(c) \neq 0 são expressões análogas a (1), o quociente \frac{f(c)}{g(c)} é um elemento de K, chamado expressão racioanal em c com coeficientes em F. O conjunto de todos estes quocientes é um subcorpo; é o corpo gerado por F e c, que convencionalmente se denota por F(c). Um corpo K é chamado de uma extensão simples de um subcorpo F quando K = F(c). Por exemplo, o corpo \mathbb{Q}(\sqrt{2}) é uma extensão simples do corpo dos números racionais \mathbb{Q} .

Definição 3: Sejam K um corpo qualquer e F um subcorpo de K. Um elemento c de K é dito algébrico sobre F se c satisfaz uma equação polinomial com coeficientes não todos nulos em F,

(2) a_0 + a_1 c + a_2 c^2 + \cdots + a_n c^n = 0 , (a_i \in F, não todos nulos).

Um elemento c de K que não é algébrico sobre F é chamado transcendental ou transcendente sobre F. Além disso, uma extensão simples K = F(c) é dita algébrica (transcendente, respec.) quando c é algébrico (transcendente, respec.) sobre F.

No próximo ‘post’, dentre outras coisas, caracterizaremos as extensões simples transcendentes, ou seja, K = F(c), onde c é um elemento de K que é transcendente sobre F.

Bibliografia: Birkhoff, G. e Mac Lane, S. – A survey of Modern Algebra, 4ª ed.

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