Unicidade do Elemento Neutro


Dado um grupo (G, \cdot) , sabe-se que existe (por definição!) um elemento e \in G tal que

(1) e \cdot g = g \cdot e = g para todo g \in G .

Tal elemento é único! De fato, se \widehat{e} \in G  possui a propriedade (1), ou seja,

(2) \widehat{e} \cdot g = g \cdot \widehat{e} = g , para todo g \in G ,

temos então que e = \widehat{e} \cdot e = \widehat{e} , onde a primeira igualdade é obtida tomando-se g = e em (2) e a segunda tomando-se g = \widehat{e} em (1).

Nunca vi esta prova em nenhum livro de álgebra (abstrata). Talvez por ser muito simples!!! Você, leitor, seria capaz de postar uma prova para a unicidade de um elemento inverso de g \in G ? Isto é, dado g \in G , mostrar que existe único h \in G tal que g \cdot h = h \cdot g = e . Observe que queremos a prova somente da unicidade, pois a existência é dada pela definição de grupo.

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25 respostas em “Unicidade do Elemento Neutro

  1. vamos ver se entendi, @Fabricio:

    seu grupo (abeliano ou não!?) tem operação + e agora você define uma nova operação: x*y = x + ky – 1 ?

    Perguntas:

    # k é um número inteiro, natural, real, etc? E o que significa ky?

    # 1 é o elemento neutro do grupo? Se for, x + ky – 1 = x + ky !

    # x e y são números reais?

  2. seja A= ZxZ. definir o I: (a,b)+(c,d)= (a+c, b+d) II: (a,b).(c,d)= (ac,bd), para todo a,b,c,d pertencente aos Z. como provar o elemento neutro eo simetrico neste caso?

  3. Olá @FABRICIO,

    observe que:

    x. (0,0) + (a,b) = (0+a,0+b) = (a,b) => (0,0) é elemento neutro de A.
    x. para todo (a,b) em A, considere o elemento (-a,-b) e daí (a,b) + (-a,-b) = (a – a, b – b) = (0,0) => (-a,-b) é o inverso aditivo de (a,b).

    Observe que usamos apenas a estrutura de grupo (abeliano) de Z.

    Abs

  4. entao seja A= ZxZ. II: (a,b).(c,d)= (ac,bd), para todo a,b,c,d pertencente aos Z.

    (a,b).(e,e)=(a,b) => (e,e)=(a,b)/(a,b) => (e,e)= (1,1)

    sendo “e” o elemento neutro.

    pois na multiplicação de operaçoes o elemento neutro dos Z,Q.N e igual a 1.

  5. caro @Fabrício,

    não sei se vc lembra mas quando se encontra um elemento neutro de um grupo, em particular para (A,.) mostra-se que este é único (leia o post que contém estes comentários…). Logo, como

    (a,b)(1,1) = (a.1,b.1) = (a,b), quaisquer que sejam a e b em Z,

    então (1,1) é o elemento netro do grupo multiplicativo (A,.).

    Faço este observação pq vc cometeu um pequeno engano na sua solução acima:

    “(a,b).(e,e)=(a,b) => (e,e)=(a,b)/(a,b)”

    esta implicação não verdadeira até que vc tenha prova que existe um elemento neutro, pois só faz sentido em falar de inverso (ou “divisão”), quando se tem o elemento neutro.

    OK!?

    Abs

    • Tayane,

      na teoria de grupos, tal elemento é denotado por e, já na teoria de anéis, por 1.

      Quando o grupo é abeliano (= comutativo), a operação do grupo é indicada por + e o elemento neutro por 0.

      Lembre-se que são apenas convensões!

  6. COMO RESOLVER ZxZ é grupo em relação a alguma das seguintes leis:

    a) (a,b)x(c,d)=(a+c,b+d)
    b) (a,b)x(c,d)=(a.c,b.d)

    por favor me responda

    • Mostrando que o conjunto ZxZ com uma das operações (separadamente) acima satisfaz as seguinte propriedades:

      # Existe ‘(e,f)’ em ZxZ tal que (e,f) x (a,b) = (a,b) x (e,f) = (a,b), para todo (a,b) em ZxZ
      # Associatividade
      # Para cada (a,b) de ZxZ, existe (a’,b’) tal que (a,b) x (a’,b’) = (a’,b’) x (a,b) = (e,f)

      Só isso! 🙂

  7. Pingback: Grupos à esquerda? « Morfismo

    • Como eu faço para mostrar?

      O conjunto Q, munido das operações de soma e multiplicação, tem as propriedades algébricas de Z, onde o elemento neutro aditivo é 0/1 e o neutro multiplicativo é 1/1.

  8. 2) Verifique se são subgrupos:
    a) Q+*={X E Q/X > 0}, DE (Q*, . )
    b) 2Z={0,+-2,+-4,+-6,…}, de (Z, +)
    c) 2Z de (Q – {1}, * ). onde * está definida como a * b= a + b – ab
    d) s¹={a+bi E C/ a² + b²=1},de (C*, . )

  9. Olá, professor!

    O neutro multiplicativo matricial (Matriz identidade) não é único para Todas as Matrizes, em especial quadradas de ordem 2, correto?

    Em outras palavra, seja A uma matriz de ordem 2, det(a) = 0 e Tr(A) não nulo, existe B que não é I, tal que AB = A e BA = A

    Poderia me confirma isso ou trazer à luz algum texto?

    Obg

    • Vinicius, obrigado pela visita!

      O elemento neutro é único em qualquer grupo, como demonstrado no post. No exemplo citado, para que a matriz B seja um elemento neutro do grupo multiplicativo das matrizes de ordem 2 é necessário que BX = X = XB, para toda matriz quadrada (de ordem 2) X, e não apenas para a matriz A.

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