Comutatividade da adição em Anéis


O intuito deste artigo é mostrar que a exigência da comutatividade da operação de adição (+) em um anel R qualquer é desnecessária, desde que o anel tenha unidade, ou seja, a propriedade a + b = b + a pode ser provada a partir dos outros axiomas.

De fato, dados a , b \in R , expandiremos o produto (1+a)(1+b) de duas formas diferentes, usando as propriedades distributiva e associativa do anel.

» (1+a)(1+b) = (1+a) \cdot 1 + (1+a) \cdot b = (1 \cdot 1 + a \cdot 1) + (1 \cdot b + a \cdot b) =

= (1+a) + (b + ab) = 1 + [(a+b)+ab]

» (1+a)(1+b) = 1 \cdot (1+b) + a \cdot (1+b) = (1 \cdot 1+1 \cdot b) + (a \cdot 1 + a \cdot b) =

= (1 + b) + (a + ab) = 1 + [(b + a) + ab] ••

Igualando • e ••

1 + [(a+b)+ab] = 1 + [(b + a) + ab] .

Como R é um grupo sobre a adição (+), podemos cancelar 1 do lado esquerdo e ab do lado direito, de cada lado da igualdade acima. Donde, obteremos

a + b = b + a .

Você leitor seria capaz de dar uma outra solução para o problema acima?

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