Comutatividade da multiplicação em Anéis


Voltamos a falar sobre comutatividade em um anel, só que desta vez, comutatividade da “multiplicação”.

Seja R um anel. Mostraremos que R é comutativo sempre que x^2 - x \in Z(R) , para todo x \in R , onde

Z(R) = \{z \in R : z \cdot r = r \cdot z , \forall r \in R \} .

Observe que para mostrar que um dado anel é comutativo, é suficiente verificar que Z(R) = R . Mas é claro que Z(R) é um subconjunto de R . Donde, restanos “apenas” verificar que R \subset Z(R) .

Para tal, sejam a, b \in R e considere x = a + b . Temos por hipótese que

x^2 - x = (a + b)^2 - (a+b) = (a^2 - a)+(b^2-b) + (ab+ba) \in Z(R)

Agora dado que a^2 - a , b^2 - b  \in Z(R) e Z(R) é um subanel (consulte a página Teorema) de R , segue de • que ab + ba \in Z(R) . Logo,

a^2 b + aba = a(ab + ba) = (ab + ba)a = aba + ba^2 ,

ou seja, a^2b = ba^2 . Dado que esta última igualdade é verdadeira para todo b \in R , segue que a^2 \in Z(R) . E, portanto, a = a^2 -(a^2 - a) \in Z(R) para todo a \in R . O que conclui nossa tese!

Novamente… você leitor, seria capaz de dar uma prova diferente da nossa para tal probleminha?

Anúncios

Deixe um comentário

Preencha os seus dados abaixo ou clique em um ícone para log in:

Logotipo do WordPress.com

Você está comentando utilizando sua conta WordPress.com. Sair / Alterar )

Imagem do Twitter

Você está comentando utilizando sua conta Twitter. Sair / Alterar )

Foto do Facebook

Você está comentando utilizando sua conta Facebook. Sair / Alterar )

Foto do Google+

Você está comentando utilizando sua conta Google+. Sair / Alterar )

Conectando a %s