Qual o Teorema? – parte 2


Continuando nossa série de posts “Qual é o Teorema?” …

Dado que U \subseteq \mathbb{R}^2 é um aberto, existe \epsilon > 0 tal que o quadrado (a- \epsilon , a +\epsilon) \times (b - \epsilon , b +\epsilon ) está contido em U . Para todo t \in (-\epsilon , \epsilon) , ponhamos

\displaystyle \phi (t) = f(a+t, b + t) - f(a + t, b) - f(a, b+ t) + f(a,b) .

Então, escrevendo \xi(x) = f(x, b+t) - f(x,b) , vemos que \phi (t) = \xi(a+t) - \xi(a) . Pelo Teorema do Valor Médio para funções de uma variável, existe \theta \in (0,1) tal que

\displaystyle \phi (t) = \left[\frac{\partial f}{\partial x}(a+\theta t, b + t) - \frac{\partial f}{\partial x}(a+\theta t, b) \right] .

Como a função \frac{\partial f}{\partial x} : U \to \mathbb{R} é diferenciável no ponto c=(a,b) , temos as igualdades:

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(a+\theta t, b + t) = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial ^2 f}{\partial x^2} \cdot \theta t + \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} \cdot t+ \rho_1 \cdot t e

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(a+\theta t, b) = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial ^2 f}{\partial x^2} \cdot \theta t + \rho_2 \cdot t , onde \displaystyle \lim_{t \rightarrow 0} \rho_i = 0

Daí, \phi (t) = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} \cdot t^2 + \rho \cdot t^2 onde \rho = \rho_1 - \rho_2 e portanto \lim_{t \rightarrow 0} \rho = 0 . Segue-se então que

\displaystyle \lim_{t \rightarrow 0} \frac{\phi (t)}{t^2} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} .

H.A.S.

Comente com o enunciado do Teorema …

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2 respostas em “Qual o Teorema? – parte 2

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