Grupo Abeliano


Neste artigo, iremos resolver um problema comum em livros de álgebra abstrata e, ao final, deixaremos para o leitor duas perguntas e um exercício. Claramente, ficou para vocês a parte mais difícil!

O Problema: Dado um grupo G com a propriedade (ab)^2 = a^2 b^2 , para todos elementos a e b em G, mostre que G é comutativo (abeliano).

Solução: Dados a e b em G , temos que:

a^2 b^2 = (ab)^2 = (ab)(ab) = a(b(ab)) \Leftrightarrow

ab^2 = b(ab) = (ba)b \Leftrightarrow

ab = ba

Pergunta 1: Dado um grupo G com a propriedade (ab)^3 = a^3 b^3 , para todos elementos a e b em G, é verdade que G é abeliano?

Pergunta 2: Dado um grupo G com a propriedade (ab)^2 = b^2 a^2 , para todos elementos a e b em G, é verdade que G é abeliano?

Exercício: Mostre que se G é um grupo com a propriedade da Pergunta 2, então G tem a propriedade da Pergunta 1, ou seja, (ab)^2 = b^2 a^2 \Rightarrow (ab)^3 = a^3 b^3 .

Observe que, com base no exercício acima, podemos concluir que se a resposta a primeira pergunta for afirmativa, então a resposta a segunda também o é. Ou, de outra forma: se a resposta a segunda pergunta for negativa, então a resposta a primeira também o é.

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10 respostas em “Grupo Abeliano

  1. ooi como que mostra que um grupo é abeliano
    “seja g um grupo tal que a²=e para todo a pertencente a G
    Mostre que G é abeliano!”

    • Oi Marcela.

      Veja se ajuda:

      Hipótese: a^2 = e, para todo a \in G.
      Tese: a b = b a, para todos a,b \in G.

      Por hipótese, (ab)^2 = e. Mas (ab)^2 = (ab)(ab) = a(ba)b. Juntando essas duas igualdades, tem-se que a(ba)b = e. Multiplicando o lado esquerdo por a e depois o lado direito por b, teremos que a[a(ba)b]b = aeb. Agora basta usar a associatividade do grupo e, novamente, a hipótese que teremos a tese.

      Deu pra entender?

  2. como eu conseguiria mostrar isso:
    seja G um grupo finito. Mostre que, dado x pertencente a G, existe um inteiro n>=1 tal que x^n=e.

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