Qual o Teorema? – parte 3


Este é o nosso terceiro post da série Qual o Teorema?. O primeiro deles foi respondido pelo leitor Júnior César, enquanto o segundo, até agora ninguém postou uma resposta. 

Sem mais, segue abaixo a demonstração:

Vamos supor inicialmente que Nuc(T)≠0 e seja B = \{u_1, \dots , u_n\} uma base de Nuc(T). Observe que Nuc(T) tem dimensão finita pois está contido em U. Estedemos o conjunto B a uma base B'=\{u_1, \dots , u_n, v_1, \dots, v_m \} de U. Agora considere os seguintes elementos de V:

T(u_1) , \dots , T(u_n) , T(v_1) , \dots , T(v_m)

e observe que T(u_i) = 0 para i = 1, … , n.

Como B’ é uma base para U, segue que B''=\{T(v_1) , \dots , T(v_m)\} é um conjunto gerador de Im(T). Vamos mostrar que B” é também L.I. e, portanto, uma base para Im(T). Sejam \lambda_1 , \dots , \lambda_m escalares tais que

\displaystyle \sum_{i=1}^{m} \lambda_i T(v_i) = 0

Mas

\displaystyle T(\sum_{i=1}^{m} \lambda_i v_i) = \sum_{i=1}^{m} \lambda_i T(v_i) = 0

e, portanto, o vetor \sum_{i=1}^{m} \lambda_i v_i  pertence ao Nuc(T).

Como B é uma base de Nuc(T), temos que

\displaystyle \sum_{i=1}^{m}\lambda_i v_i = \sum_{j=1}^{n} \gamma_j u_j

para certos escalares \gamma_1 , \dots , \gamma_n . Então

\displaystyle \sum_{i=1}^{m} \lambda_i v_i - \sum_{j=1}^{n} \gamma_j u_j = 0

e, como B’ é L.I., teremos em particular que cada \lambda_i = 0. Portanto, B” é L.I. como queríamos.

Por outro lado, se Nuc(T) = 0, considere uma base B=\{u_1 , \dots , u_n\} de U e, de maneira análoga à feita acima, pode-se mostrar que \{T(u_1) , \dots , T(u_n)\} é uma base para Im(T).

Você sabe Qual o Teorema que possui esta demonstração como uma prova?

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12 respostas em “Qual o Teorema? – parte 3

  1. Oi!
    Tudo bom?

    Você não definiu o que era a transformação linear T . Não sei se era um operador linear A: U \to U ou uma transformação com contradomínio em outro lugar… (não que isso tenha influenciado muito).

    Fora isso, não me falou o que era o conjunto U . Me disse que “Observe que Nuc(T) tem dimensão finita pois está contido em U”, mas nem ao menos tinha me dito o que era U antes dessa frase. U poderia ser um conjunto, um espaço vetorial (de dimensão infinita), etc… Acho que você poderia ter dito, antes de começar tudo,
    “Sejam U,V espaços vetoriais de dimensão finita e A:U\to V uma transformação linear.” (depois começar como você fez)

    Note que a demonstração que você colocou pressupôs as definições feitas no enunciado do teorema… Vc deveria dotar a demonstração de tais definições. Não existe como você entender alguma coisa de matemática sem as definições (é parte immportante para se falar em MAT) (mas eu também peco às vezes nisso).
    Só se pode falar em coisas sem definir quando você fala num grupo que já há consenso de definições. Ou está falando num contexto em que já haja definições… (nos meus posts isso acontece (por isso às vezes carece de definições))

    Essa idéia de “qual o teorema?” me parece até que um pouco interessante (principalmente por razões didáticas (principalmente de lógica formal/”aprendizado de teoremas”))… mas, em minha opinião, tem alguns problemas…
    Por exemplo, a idéia de uma demonstração é provar a proposição (o teorema). Mas isso não impede que a demonstração esteja carregada de outras informações (demonstrações de outros lemas)… No caso desse post, fica mais claro o que você quer que as pessoas respondam. Mas, quando as demonstrações se tornam um pouco mais sofisticadas, fica difícil definir qual é (por estar mal definido).
    Em outras palavras, a relação entre os lemas e as suas demonstrações não é biunívoca (e nem é função na verdade (para nenhum dos lados)). Você pode decidir se uma demonstração X demonstra um teorema Y. Mas não existe uma única demonstração que demonstra o teorema Y. Nem existe um único lema/teorema que é demonstrado por X. (Como eu disse, em teoremas sofisticados, as coisas ficam mais complicadas).
    🙂 🙂 🙂

    Se vc der um teorema, vou ter mais de uma demonstração para ele (sobre isso tenho mais a falar). E o contrário também me parece verdadeiro: uma demonstração é carregada de informações.

    O que você pode pedir é que coloquem uma lista dos lemas provados pela demonstração.

    Mas, enfim, como eu disse, pode ser que seja interessante (por didática). E pode ser que o problema seja razoável se nos dotarmos de um certo bom senso (mas, na matemática, não costumamos contar com bom senso para definir qual a resposta para um problema)….
    😀 😀 😀 😀 😀 😀 😀 😀 😀

    Bom, depois desse discurso cansativo (hehe), exponho minha resposta:

    Não li direito (perdi mais tempo pensando/refletindo sobre a natureza do problema “Qual o teorema?” do que lendo a demonstração de fato). Mas, pela rápida visita às hipóteses e conclusões, acredito que seja o “Teorema do Núcleo e da Imagem”:

    dim(U)=dimN(T)+dim Im(T) , onde A: U\to V é uma transformação linear.

    É isso? 😀

    Bom, desculpe pelo comentário enrolado e confuso! (estou com sono agora (e vou dormir agora))

    Abraço
    E parabéns pelo post!

    • Caro Lucatelli,

      antes mais nada queria agradecer pelas inúmeras sugestões! 😉

      A idéia dessa série de posts (Qual o Teorema?) não é fazer com que alguém aprenda matemática básica, por isso não me preocupei em definir o que seria Nuc(T), transformação linear, etc. O intuito é instigar o leitor a pensar/lembrar qual o teorema possui aquela demonstração que ele já viu (ou pelo menos deveria ter visto!) alguma vez na vida. Independente disso, na minha opinião, qualquer estudante de Ciências que já fez um curso básico (mas básico mesmo!) de álgebra linear é capaz de entender o que está mostrado acima – desde que pare um pouco pra pensar, afinal, matemática exige isso!

      Quanto a sua resposta, está quase correta! Faltou uma hipótese no seu enunciado para o Teorema do Núcleo e Imagem – hipótese que aparece como consequência da segunda linha da prova acima.

      Volte sempre! 🙂

  2. Você diz “dimensão finita”?

    Mas eu falei no texto sobre isso (=P). Já tinha visto a dimensão finita! 😀 E é evidente que o teorema vale apenas para dimensão finita, né? 😛 heehehe…
    Mas foi mal! 😛 Eu quis enunciar rápido a parada e acabei pecando pelo mesmo que reclamei (estabelecer direito as hipóteses e etc).
    Mas, como eu nem esperava ter acertado (pois não li direito), saí no lucro! heheheh 😛 😀

    Não dei sugestões! Apenas refleti sobre a existência e unicidade da solução do problema “Qual o Teorema?”. Essa inversão realmente me fez pensar sobre isso… e, então,, resolvi expor as conclusões! Mas não as tome como críticas! Como eu disse, eu entendo o valor didático da coisa…

    Sobre a pergunta “Qual o teorema”: de certa forma, exige “bom senso” de cada um (como eu disse). Então não tem as coisas bem definidas…
    Bom, em matemática, deve-se pensar sim. Mas uma coisa que reina é o rigor! 🙂 E, nesse caso, o problema tem mais de uma solução, a não ser que se aplique “BOM SENSO” (o que é diferente de pensamento rigoroso (ou pensamento de caráter matemático))! 😀 Entendeu o que eu quero dizer?

    Mas eu já tinha entendido o objetivo da coisa! Falei que tinha caráter didático! 😀 No entanto, não acho meu comentário fora de contexto. Uma das coisas que devem ser trabalhadas na cabeça de estudantes de matemáticos é o rigor e saber o que está unicamente determinado (essas coisas). E, por isso, resolvi expor essas idéias aqui! 😀

    Sobre as definições, eu mesmo peco nisso, quando faço algum post, de vez em quando (e meus colegas me lembram). Mas devemos evitar (pois não há nada escrito em matemática sem que se tenha os objetos bem definidos (e isso é um dos pontos que a distingue do resto))

    Se for mandar uma mensagem respondendo, não precisa me chamar de “caro” não! 🙂
    Eu acho que isso dá um tom meio formal para a discussão quando, na verdade, estamos apenas numa conversa tranqüila e descompromissada sobre um assunto que nos é de comum interesse. 😀

    Bom, até mais! 🙂

    Valeu!

    E parabéns por tudo aí! 😀

    P.s.: Não considere crítica ao problema! Se eu refleti sobre o problema “Qual o teorema” quer dizer que ele me foi interessante! 🙂
    Quando vi o “Qual o teorema”, na verdade, foi como você tivesse me proposto o problema de ver se o teorema estava unicamente determinado.
    Mas eu gostei! Parabéns
    Não tem unicidade na solução (principalmente para teoremas/demosntrações mais sofisticados(as)) ; mas certamente deve lhe servir bem de didática!

    Bom, o primeiro post eu escrevi de noite (sono)! 😀 E esse eu estou escrevendo de tarde (no entanto, apressado). Então desculpe-me pelos erros de português ou construções ruins de parágrafos!

  3. “Sejam U,V espaços vetoriais de dimensão finita e A:U\to V uma transformação linear.” (depois começar como você fez)”
    (Olha! Eu tinha falado da hipótese de finitude das dimensões).

    Outra coisa! Você fez o quê? Engenharia? Ciência da computação? Ou Matemática? (só por curiosidade 😀 )

    Outra coisa (outra curiosidade): Eu não entendo o que é “álgebra linear básica”. O que você entende por um curso de álgebra linear básico “bem básico mesmo”?
    E o que é um curso intermediário?
    E um avançado?
    (eu não tenho essas fronteiras bem estabelecidas na minha cabeça. Se você tiver, queria saber da sua opinião).

    Abraço

    E
    Até mais!

    • Na verdade a prova acima não usa dimensão do espaço vetorial V, ou seja, o enunciado do teorema do Núcleo e Imagem pode ser formulado da seguinte forma:

      Sejam U e V dois k-espaços vetoriais e T\colon U \to V uma transformação k-linear. Se {\sf dim_k} U < \infty então Im(T) é um espaço vetorial de dimensão finita e, além disso, vale a seguinte fórmula:

      {\sf dim_k} U = {\sf dim_k} Nuc(T) + {\sf dim_k} Im(T)

      Álgebra Linear "básica" é curso dado seguindo livros no nível daqueles voltados para cursos de engeharia, economia, contábeis, etc. "Muito básicos", são aqueles que usam esses livros mas com enfoque em contas! Considero um curso de Álgebra Linear "Intermediário" aquele que segue um livro no nível do livro do Flávio Ulhoa Coelho. E, finalmente, um "quase avançado", aqueles baseados em livros como o Hoffmann & Kunze e/ou Nomizu. É isso….

      Quanto a minha formação: matemática.

      Abraços e volte sempre…

      • No caso, vc usou como hipótese o domínio de dimensão finita, ok?
        Isso é verdade! Na demonstração apenas precisamos supor dim U finito. Mas acredito que não importa a generalidade do teorema para casos em que T:U\to V é tal que U tem dimensão finita e V tem dimensão infinita. (pelo menos, não me parece interessante trabalhar com um contradomínio de dimensão infinita (quando o domínio tem dimensão finita)) . 😀 Mas, enfim, de qualquer forma, massa! 😀
        Agora, chega de Teorema de Núcleo e Imagem!

        Eu nunca vi esses livros que vc considera “quase-avançado”.
        Na verdade, eu, particularmente, acho a maioria dos livros do mesmo nível (apenas assuntos diferentes). Eu entendo que tenha os livros “básicos” que são os de introdução ao assunto (que tem mais métodos computacionais, algoritmos e apenas uma introsução à abstração). Mas, depois disso, dentre os livros que li, todos foram do mesmo “nível”. Como eu disse, para mim, eles apenas tratam assuntos diferentes.
        Elon, Flávio, Halmos, Lang, etc. Depois de um curso de introdução, cada um desses livros pode ser lido (e “entendido”) sem que se tenha precedido nenhum dos outros (sem ordem). Não conheço os livros que você colocou como “quase-avançado”, antão não sei se vale o mesmo para eles

        Continue com seu bom trabalho!

        Existem poucos que se dedicam a fazer páginas (suas) para matemática (porque dá um público menor que outras coisas). Portanto PARABÉNS PELO TRABALHO!

        Até mais,

        P.s.: Para mim k – espaço vetorial é um espaço vetorial sobre o corpo k . É isso que você quis dizer? (acho que sim)
        (novamente, a questão da definição)
        Se for isso, não precisa responder!

        Se for verdade, acho que você pode omitir o k de “transformação k – linear. Porque, ao falar em espaços vetoriais sobre k , acho que fica implícito que a transformação é linear em k .
        Eu falei isso porque transformação k – linear ficou um nome bem próximo de aplicação k -linear (que é bem diferente).

        Sobre isso, também não precisa responder.

  4. Existe (muitas!) situações em que o contradomínio é um espaço vetorial de dimensão infinita e o domínio um de dimensão finita. Basta você buscar na literatura transformações k-lineares (que é o mesmo que aplicações k-lineares) que possuem como contradomínio o espaço das funções ou (menos geral) o espaço dos polinômios ou até mesmo os L_p da vida – veja por exemplo livros de Teoria da Medida ou de Análise Funcional. De qualquer forma, se você preferir, há exemplos básicos (que servem como contra-exemplos) desse tipo de situação:

    É sabido que o corpo dos números reais \mathbb{R} é um \mathbb{Q}-espaço vetorial de dimensão infinita (por que?) e, além disso, a inclusão de \mathbb{Q} em \mathbb{R} é uma aplicação \mathbb{Q}-linear. Ou seja, este é um exemplo de uma transformação linear que sai de um espaço vetorial de dimensão finita (que nesse caso é igual a 1) e chega num espaço vetorial de dimensão infinita (que nesse caso a dimensão não chega a ser nem enumerável infinita).

    Quanto aos livros que citei, são todos clássicos. Se você ainda não os conhece, procure-os na biblioteca da sua universidade que talvez os encontre.

    Uma diferença bem marcante entre os livro do “Nomizu” e o do “Hoffmann & Kunze”. O primeiro deles é bem algébrico e o segundo é mais analista. Isso você perceberá nas demonstrações e nos exemplos.

  5. Para mim, uma aplicação k – linear (ou forma k -linear ) é uma aplicação de k variáveis (linear em relação a cada uma delas. Por isso que eu falei que dava para confundir). E, na maioria dos livros de álgebra linear, eles usam essa nomenclatura (mas, principalmente, nos livros de “álgebra exterior”).

    Agora, sobre as transformações lineares… sim, existem exemplos! Mas não sei se são interessantes =P
    A transformação linear é como se fosse uma imersão da estrutura de um espaço vetorial em outra. Normalmente, não queremos imergir numa estrutura mais complicada (finita (simples para infinita (complicado)). (por isso me pareceu incomum a princípio)
    Essa imersão pode ocorrer para outros motivos (como topológicos(por exemplo, querendo munir o de dimensão finita de uma estrutura topológica que a de dimensão infinita tem (ou sei outra coisa qualquer))) , mas não entrei nesse mérito! 😀 (e reconheço que ignorei esses fatos para falar sobre tais transformações)
    Mas, enfim, encerrado! 😀

    Valeu pelas dicas dos livros! Na verdade, tem uma coleção grande de livros “clássicos” para álgebra linear, né? Cada pessoa indica um! Eu não vou procurar ler todos eles não! 😛 Mas certamente vou dar uma olhada nos livros que você disse! Valeu, então!

    Ou, falou então!

    Até mais!

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