Um epi que não é sobrejetivo


Falando ainda sobre a questão da “unicidade” dos contra-exemplos [veja o este post] …

Quando estuda-se Teoria de Categorias temos a oportunidade conhecer os conceitos de epimorfismo (também chamado de epic morphism ou simplesmente epi) e de monomorfismo (também chamado de monic morphism ou simplesmente mono). Por exemplo, na categoria dos conjuntos, muitas vezes denotada por Set, toda sobrejeção (resp., injeção) é um epi (resp., mono). Este resultado também é válido na categorias dos anéis (Ring). Então uma questão natural seria a seguinte:

Questão: No caso em que os morfismos da categoria são funções (ou homomorfismos) será que todo epi (resp., mono) é uma sobrejeção (resp., injeção)?

Temos resposta positiva para algumas categorias. Por exemplo: R-Mod (ou Mod-R), Set, Grp (categoria dos grupos). No entanto, na categoria Ring, a pergunta acima tem um não como resposta no caso “epi => sobrejeção“. Eis o contra-exemplo canônico:

A inclusão \iota \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Q} do anel dos números inteiros no anel dos números racionais é um epi que não é  sobrejetivo.

Minha pergunta:

Há algum exemplo de epi entre anéis sem unidade(s) que não seja sobrejetivo?

Boa sorte! 😉

Anúncios

Deixe um comentário

Preencha os seus dados abaixo ou clique em um ícone para log in:

Logotipo do WordPress.com

Você está comentando utilizando sua conta WordPress.com. Sair / Alterar )

Imagem do Twitter

Você está comentando utilizando sua conta Twitter. Sair / Alterar )

Foto do Facebook

Você está comentando utilizando sua conta Facebook. Sair / Alterar )

Foto do Google+

Você está comentando utilizando sua conta Google+. Sair / Alterar )

Conectando a %s