Re: Categoria dos anéis com involução [Atualizado]


No artigo Categoria dos anéis com involução fizemos a pergunta seguinte:

Será que existem anéis com involução (R, j), (R, i), (S, k) e (S, l) e um homomorfismo de anéis com involução, f, onde f \colon (R,j) \to (S,k) e f \colon (R,i) \to (S,l) com j \neq i ou k \neq l?

A resposta é SIM!

De fato, sejam R = S = M_n({\sf k}) o anel das matrizes, sobre um corpo {\sf k}, de ordem n>1 , 1_R \colon R \to R o homomorfismo (de anéis) identidade e (-)^t \colon R \to R a função definida por:

(-)^t(A) := A^t

onde A^t denota a transposta da matriz A . Não é dificil verificar que (-)^t é uma involução.

Nestas condições, tomemos os seguintes homomorfismos de anéis com involução:

1_R \colon (R, 1_R) \to (R, 1_R)   e  1_R \colon (R, (-)^t) \to (R, (-)^t) ,

onde aqui estou considerando 1_R como homo de anéis e como uma involução.

NOTA: Ao terminar este artigo, encontrei um erro… mas para não perder meu trabalho, resolvi publicá-lo e deixar que vocês encontrem-o!

Ou seja, a pergunta acima continua sem resposta…

[Atualização: 17-4-09 às 11h10] Como já encontrei uma resposta para a pergunta acima, vou revelar o erro neste contra-exemplo:

Erro: Aplicação identidade não é um homomorfismo entre anéis com involução que não sejam comutativos (verifique isso!).

Solução: Com base no erro acima, não foi tão complicado “arrumar” este contra-exemplo. De fato, basta trocar o anel da matrizes pelo anel do números complexos e a aplicação (-)^t pela aplicação, de \mathbb{C} em \mathbb{C} , que associa a cada número complexo o seu conjugado. (Verifique isso também!).

Espero que desta vez não haja erros!

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