Lema de Schur – a recíproca


Acho que todo algebrista conhece o famoso e importante Lema de Schur*:

Lema: Se M e N são módulos simples (ou irredutíveis), então qualquer homomorfismo de M para N ou é um isomorfismo ou é nulo. Em particular, o anel de endomorfismos de um módulos simples é um anel com divisão.

Mas então uma pergunta natural é se vale a recíproca deste lema.

Como veremos no exemplo a seguir, tal recíproca não é verdadeira em geral. O exemplo abaixo é um exercício proposto no Capítulo 3 do livro “Basic Algebra II – N. Jacobson“.

Para tanto, sejam M um espaço vetorial sobre um corpo k, com base \{m_1 , m_2\} , e R o conjunto das transformações k-lineares de M em M cuja matriz com respeito a base acima é uma matriz triangular superior, ou seja,

R := \{ T \colon M \to M \ : \ T(m_1) = a m_1 \ \mbox{e} \ T(m_2) = bm_1 + cm_2 \}

Não é difícil mostrar que R é um subanel do anel de endomorfismos (k-lineares) de M e que M é um R-módulo à diretita com o seguinte o produto:

m \cdot T := T(m) , \forall m \in M \; \mbox{e} \; \forall T \in End_{\sf k} M  .

Mostremos que M não é um R-módulo simples e que End_R M é um anel com divisão consistindo de multiplicação por escalares, ou seja, os elementos em End_R M são da seguinte forma:

m \mapsto am , \; \mbox{para algum} \; a \in {\sf k} \; \; \; (1)

Para mostrar que um R-módulo não é simples, é suficiente verificar que ele possui algum elemento não nulo de modo que o R-submódulo gerado por tal elemento seja próprio.

  • Afirmação: \langle m_1 \rangle_R \subsetneq M_R

De fato, se tal inclusão não fosse própria, existiria T \in R tal que m_2 = m_1 \cdot T . Assim, existiria a \in {\sf k} tal que T(m_1) = a m_1 = m_2 , contradizendo o fato de \{m_1 , m_2\}  ser uma k-base para M. Portanto nossa afirmação é verdadeira e, em particular, concluímos que M não é simples (como R-módulo à direita).

  • Afirmação: End_R M é um anel com divisão

De fato, se f \colon M_R \to M_R é um elemento de End_R M e m \in M , então existem a, b \in {\sf k} tais que m = cm_1 + dm_2 e assim temos que m = m_2 \cdot T , onde T é a transformação linear (em R) definida por:

T(m_1) = 0 \; \mbox{e} \; T(m_2) = cm_1 + dm_2 .

De onde segue que

f(m) = f(m_2) \cdot T = (am_1 + bm_2) \cdot T = a (c m_1) + a (d m_2) = a m .

Logo, como a \in {\sf k} dado acima depende somente do valor de f em m_2 , temos que

f(m) = a m , \forall m \in M .

Por outro lado, é fácil mostrar que as aplicações da forma (1) pertencem a End_R M . Resta-nos, portanto, verificar que as aplicações não nulas da forma (1) são invertíveis. Mas tais homomorfismos são não nulos se e somente se o escalar correspondente a \in {\sf k} é não nulo, e portanto invertível em k. Dessa forma, o homomorfismo m \mapsto a^{-1} m é a inversa do homomorfismo m \mapsto am . Isso conclui a prova de que End_R M é um anel com divisão.

Encerraremos o artigo com um exercício e com um problema:

  1. Mostre que o anel End_R M construído acima é comutativo e conclua então que ele é um corpo.
  2. Tomando M = \mathbb{C} e {\sf k} = \mathbb{R} na construção acima, você saberia descrever os elementos do anel R e do módulo M_R ?

* O Lema de Schur é bastante utilizado na teoria de representações de grupos e álgebras, por exemplo.

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