Grupos à esquerda?


Quando definimos um grupo G em álgebra pedimos que exista um elemento e \in G  de modo que eg = ge = g, para todo g G. Tal elemento, como você deve lembrar, é chamado de unidade de G ou, às vezes, de elemento neutro de G.

Neste post mostramos a unicidade do elemento neutro de um grupo.

Além disso, exige-se também, além da associatividade da operação em G, que para cada elemento de g em G, exista h \in G  tal que hg = gh = e. Tal elemento h é chamado de inverso de g e, pela unicidade de tal elemento para cada g (por quê?), denota-se-o por g^{-1}.

Não sei se você sabia, mas poderíamos pedir somente a existência de unidade à esquerda e inverso à esquerda na definição de grupos. Isto é, se existe e \in G  tal que eg = g, para todo g \in G  , e se para cada g \in G  existe h \in G  tal que hg = e  , então é verdade que ge = g e gh = e. De fato, se h é um inverso à esquerda para g, então

h(gh) = (hg)h = eh = h

Como todo elemento de G possui inverso à esquerda, podemos “multiplicar” à esquerda, de ambos os lados da igualdade h(gh) = h, pelo inverso de h para obtermos gh = e. Ou seja,

hg = e \Rightarrow gh = e

Observe que na prova acima usamos o fato de G possuir uma unidade à esquerda! Além disso, ficou claro também que o inverso à direita de g é o mesmo que o inverso à esquerda.

Agora provemos que dado g em G, temos a seguinte implicação:

eg = g \Rightarrow ge = g

Para tanto vamos usar que cada elemento de G possui também inverso à direita (como mostrado acima!):

ge = g(hg) = (gh)g = eg = g

É isso…

PS.: Ainda bem que não existe mais “esquerda” no Brasil, se não iriam pensar que eu seria um “esquerdista”.

Bibliografia: S. LANG, Algebra, Addison-Wesley, 1993, 3ª Ed.

Anúncios

Deixe um comentário

Preencha os seus dados abaixo ou clique em um ícone para log in:

Logotipo do WordPress.com

Você está comentando utilizando sua conta WordPress.com. Sair / Alterar )

Imagem do Twitter

Você está comentando utilizando sua conta Twitter. Sair / Alterar )

Foto do Facebook

Você está comentando utilizando sua conta Facebook. Sair / Alterar )

Foto do Google+

Você está comentando utilizando sua conta Google+. Sair / Alterar )

Conectando a %s