Problema de cálculo


Na época em que fiz a gradução lembro que o professor de análise matemática propôs o probleminha abaixo. Agora estou cursando uma disciplina de topologia na pós-gradução e o tal o probleminha apareceu novamente. Então resolvi compartilhar com vocês esse problema tão comum em cursos que, de alguma forma, estudam continuidade de funções. Para abranger um público maior e deixar a solução com uma linguagem comum àquela encontrada em livros de cálculo, resolvi então não utilizar nomenclatura de topologia nos resultados usados para a resolução do problema. Vamos ao enunciado do problema:

Seja f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} uma função contínua que preserva a soma, ou seja, f(x+y) = f(x) + f(y), quaisquer que sejam os valores reais de x, y. Então existe \lambda \in \mathbb{R} tal que f(x) = \lambda \cdot x, para todo x \in \mathbb{R}.

Vamos dividir a solução do problema em várias etapas. A ideia básica é mostrar que a funçã o f com a propriedade acima é uma função linear quando restrita ao conjunto \mathbb{Q} dos números racionais. Uma vez mostrado isso, usaremos o seguinte fato (trocando D por \mathbb{Q}):

Lema*: Sejam f, g \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} duas funções contínuas. Se existe um conjunto D denso em \mathbb{R} tal que f(x) = g(x), para todo x em D, então f = g em \mathbb{R}.

O resultado acima, no fundo, diz o seguinte: se duas funções (reais) contínuas coincidem num conjunto denso, então elas são iguais. Ou ainda, para que duas funções (reais) contínuas sejam iguais, basta que elas coincidam num conjunto denso em \mathbb{R}.

Solução:

Passo 1. f(0) = f(0+0) = f(0) + f(0) \Rightarrow f(0) = 0

Passo 2. f(2) = f(1+1) = f(1) + f(1) = 2\cdot f(1)

Por indução finita, segue que:

n \in \mathbb{N}: f(n) = f(1 + (n-1)) = f(1) + f(n-1) = f(1) + (n-1)f(1) = nf(1)

Passo 3. 0 = f(0) = f(x - x) = f(x) + f(-x) \Rightarrow f(-x) = - f(x), para todo x \in \mathbb{R}

Juntando os passos 2 e 3 podemos concluir que f(z) = z\cdot f(1), para todo z \in \mathbb{Z}.

Passo 4. n \in \mathbb{N}: f(1) = f(n \cdot \frac{1}{n}) = f(\frac{1}{n}) + \dots + f(\frac{1}{n}) = n \cdot f(\frac{1}{n}) \Rightarrow f(\frac{1}{n}) = \frac{1}{n} \cdot f(1)

Passo 5. m,n \in \mathbb{N}: f(m/n) = f(m\cdot \frac{1}{n}) = f(\frac{1}{n}) + \dots + f(\frac{1}{n}) = m \cdot f(\frac{1}{n}) = m \cdot \frac{1}{n} \cdot f(1). Logo, f(m/n) = \frac{m}{n} \cdot f(1).

Juntando os passos 3 e 5 podemos concluir que f(q) = q\cdot f(1), para todo q \in \mathbb{Q}.

Passo 6. Definindo a função g\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} por g(x) = \lambda x, para todo x \in \mathbb{R}, onde \lambda=f(1), tem-se que g é uma função contínua (por quê?). Além disso, g(q) = f(1) \cdot q = f(q), para todo q\in \mathbb{Q}, ou seja, f e g coincidem em \mathbb{Q}.

Usando o passo 6 e o Lema acima, podemos concluir que f(x) = \lambda \cdot x, para todo x \in \mathbb{R}, onde \lambda = f(1). \blacksquare

É isso…

(*) Para aqueles que já fizeram um curso de topologia, devem saber que o Lema acima poderia ter sido enunciado da seguinte forma:

Lema: Sejam (X, \sigma) e (Y,\sigma') dois espaços topológicos, onde o espaço (Y, \sigma') verifica o axioma T_2 (Hausdorff) e existe D \subset X denso em X. Se f,g \colon X \to Y são duas funções contínuas tais que f(t) = g(t), para todo t \in D, então f = g.

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