Teorema de Dubnov-Ivanov-Nagata-Higman


Estou cursando uma disciplina (na área de Álgebra) chamada ‘Super-Álgebras‘. Estas álgebras têm se mostrado uma ótima ferramenta para “atacar” diversos problemas da matemática e da física. O que tem me chamado a atenção é a quantidade de problemas em aberto que têm aparecido durante as aulas deste curso. Lembro que desde a segunda aula, eles já deram as caras. Alguns com enunciados complicados e outros bem simples de entender. E é destes últimos que falarei aqui.

Boa parte do avanço na busca da prova da conjectura que enunciarei abaixo tem sido na linha de super-álgebras.

Seja A uma álgebra associativa sobre um corpo F de característica 0 que satisfaz a identidade x^n = 0. O Teorema de Dubnov-Ivanov-Nagata-Higman diz que A é nilpotente, ou seja, existe N tal que x_1 x_2 \cdots x_N = 0 para todos x_1, x_2, \dots, x_N \in A (veja [1] e [2]). Assim, se x^n = 0 então x_1 \cdots x_N para algum N que, naturalmente, depende de n. Neste caso, escreveremos N = f(n). A prova do Teorema de Dubnov-Ivanov-Nagata-Higman não é um prova construtiva e, portanto, não se determina o valor N. Mas Nagata encontrou um limitante para N, a saber N = f(n) \leq 2^n - 1.

Mas existem alguns resultados que estabelecem uma estimativa ainda melhor para N. Razmyslov em [4] melhorou* esse grau de nilpotência para n², ou seja, provou que f(n) ≤ n². Já Kuzmin provou em [3] que f(n) ≥ n(n+1)/2 e conjecturou que vale a igualdade f(n) = n(n+1)/2. Não é difícil verificar** que a conjectura de Kuzmin é verdadeira para n = 2, ou seja, f(2) = 3. Além disso, os resultados de Higman garantem a validade da conjectura para n = 3, isto é, f(3) = 6. Vaughan-Lee usou métodos computacionais, em [5], para provar que f(4) = 10.

Mas já o caso n = 5 ainda está em aberto, ou seja, ninguém provou ou apresentou um contra-exemplo para a igualdade f(5) = 15. O professor da disciplina, Ivan Chestakov, disse que ia colocar esse “probleminha” na próxima lista de exercícios e resolveu avisar antes que talvez dê bastante trabalho pra gente.

(*) n^2 < 2^n - 1, sempre que n > 5.

(**) Faremos esse exercício num próximo post.

Referências:

[1] J. Dubnov, V. Ivanov, Sur l’abaissement du degr ́e des polynômes en affineurs, (French) C. R. (Doklady) Acad. Sci. URSS (N. S.) 41 (1943), 95-98.

[2] G. Higman, On a conjecture of Nagata, Proc. Cambridge Philos. Soc. 52 (1956), 1-4.

[3] E. N. Kuzmin, On the Nagata-Higman theorem, Mathematical Structures – Computational Mathematics – Mathematical Modeling. Proceed- ings dedicated to the sixtieth birthday of Academician L. Iliev, Sofia, 1975, 101-107.

[4] Yu. P. Razmyslov, Trace identities of full matrix algebras over a field of characteristic zero, Izv. Akad. Nauk SSSR, 38 (1974), 723-756; English transl. Math USSR Izv. 8 (1974), 727-760.

[5] M. Vaughan-Lee, An algorithm for computing graded algebras, J. Symbolic Computation, 16 (1993), 354-354.

Anúncios

4 respostas em “Teorema de Dubnov-Ivanov-Nagata-Higman

  1. Eu também fico impressionado com a quantidade de problemas em aberto. Recentemente achei um resumo de problemas em teoria de anéis, chamado Dniester Notebook, com aproximadamente 430 problemas. Estudo álgebra com identidades polinomiais na Unicamp e gosto de iniciativas com a sua de escrever um blog. Se quiser conversar sobre matemática ou ciência em geral, estou a disposição.

Deixe um comentário

Preencha os seus dados abaixo ou clique em um ícone para log in:

Logotipo do WordPress.com

Você está comentando utilizando sua conta WordPress.com. Sair / Alterar )

Imagem do Twitter

Você está comentando utilizando sua conta Twitter. Sair / Alterar )

Foto do Facebook

Você está comentando utilizando sua conta Facebook. Sair / Alterar )

Foto do Google+

Você está comentando utilizando sua conta Google+. Sair / Alterar )

Conectando a %s