Exemplos de anéis comutativos


Não é objetivo deste post definir os conceitos de anel de integridade, domínio de fatoração única, domínio de ideais principais, domínio Euclidiano ou corpo, e sim mostrar exemplos que ilustram o fato da cadeia de continências

anéis comutativos ⊃ anéis de integridade ⊃ domínios de fatoração única ⊃ domínios de ideias principais ⊃ domínios Euclidiano ⊃ corpos

ser própria, em cada passo.

Eis os exemplos:

  • \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} é um anel comutativo que não é um anel de integridade.
  • \mathbb{Z}[\sqrt{-5}] = \{a+b\sqrt{-5} \mid a,b \in \mathbb{Z}\} é um anel de integridade que não é um domínio de fatoração única.
  • \mathbb{R}[x,y] é um domínio de fatoração única que não é um domínio de ideais principais.
  • O anel de inteiros do corpo \mathbb{Q}(\sqrt{-19}) é um domínio de ideais principais que não é um domínio Euclidiano.
  • \mathbb{R}[x] é um domínio Euclidiano que não é um corpo.

É um bom exercício tentar mostrar a veracidade de cada uma das afirmações acima. Vale salientar que a quarta sentença é difícil. Isto se deve, particularmente, ao fato de ser complicado em geral mostrar que um dado anel de integridade não admite norma Euclidiana.

Em tempo, se tiver alguma dúvida deixe-a nos comentários abaixo.

Até a próxima!


Bibliografia

Israel Nathan Herstein. Topics in Algebra. John Wiley & Sons, 2nd Edition, 1975.

Serge Lang. Algebra. Addison Wesley Publishing Company, 3rd Edition, 1992.

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