Conjectura de Beal


Andrew Beal, banqueiro apaixonado pela matemática, oferece US$ 1 milhão para quem resolver um problema proposto por ele em 1993.

É impressionante a (enorme) quantidade de problemas na teoria dos números de fácil entendimento, mesmo para não-matemáticos, e de soluções extremamente complicadas, mesmo para os matemáticos. Isto quando elas existem. Não poderia deixar de citar dois dos mais conhecidos: o Último Teorema de Fermat [6] e a Conjectura de Goldbach [7]. O primeiro deles foi resolvido em 1994, pelos matemáticos Andrew Wiles e Richard Taylor, e o segundo possui apenas soluções parciais (veja [7]).

É justamente sobre um problema de fácil entendimento e ainda sem solução que vamos falar nos próximos parágrafos. Em geral, este tipo de problema é chamado de conjectura ou de problema em aberto.

Andrew Beal, banqueiro e entusiasta da teoria dos números, está oferecendo o prêmio de 1 milhão de dólares para quem provar ou apresentar um contra-exemplo para um problema que generaliza o Último Teorema de Fermat. Segundo as próprias palavras do banqueiro, em um comunicado à imprensa da American Mathmatical Society, o objetivo do prêmio milionário é “inspirar as mentes jovens a refletir sobre a questão e torná-las mais interessadas no estudo da matemática”.

O problema foi proposto pelo próprio Beal em 1993, mas só ficou bem conhecido mesmo pela comunidade matemática em 1997 após R. D. Mauldin publicar o artigo A Generalization of Fermat’s Last Theorem: The Beal Conjecture and Prize Problem no periódico Notices of the American Mathematical Society (veja [4]). Daí o problema de Beal ficou conhecido como Conjectura de Beal . Afinal, o que diz o problema?


Conjectura de Beal

Se ax + by = cz, onde a, b, c, x, y e z são inteiros positivos e x, y e z são maiores do que 2, então a, b e c têm um fator primo comum – o que significa que eles são divisíveis por um mesmo número primo.


Este problema tem despertado a curiosidade de matemáticos nos últimos 20 anos, inclusive do próprio Beal, que, como dito acima, é um apaixonado pela matemática.

Falaremos agora um pouco mais do problema em si. Primeiro, note que a igualdade 33 + 63 = 35 não é um contra-exemplo para a conjectura, visto que os números a = 3, b = 6 e c = 3 tem um fator primo comum, que é o primo 3. Assim, um outra forma (equivalente) de enunciar a Conjectura de Beal seria:


A equação ax + by = cz não tem solução para inteiros positivos com x, y, z > 3 e mdc(ab, c) = 1.


Antes de tentar resolver um problema em aberto, é comum o pesquisador se perguntar se já existe algum avanço – e se sim, em qual direção – na tentativa de resolvê-lo. Isso pode ser bom e, ao mesmo tempo, ruim. Bom porque se ele já sabe os casos particulares que foram solucionados, pode economizar tempo e ainda ficar sabendo das técnicas que a comunidade matemática vem usando para “atacar” o problema. E é justamente aí que mora o perigo: diante de tais técnicas, o pesquisador (pode) está sujeito a seguir um caminho que não lhe trará uma resolução para o problema.

O fato é que já existe sim alguns passos dados na tentativa de resolver a Conjectura de Beal, como mostrados em [4]. Vejamos abaixo um deles.

É conhecido, por exemplo, que se existe solução para a equação dada na conjectura – ou seja, se a conjectura é falsa –, então há apenas um quantidade finita delas.

[…] Em 1995, Darmon e Granville [2], mostraram que se os inteiros positivos x, y e z são tais que 1/x + 1/y + 1/z < 1, então existe somente uma quantidade finita de triplas (a, b, c) de inteiros primos entre si satisfazendo a equação ax + by = cz. Ora, dado que cada um dos inteiros x, y e z são maiores do que 2, então 1/x+1/y+1/z < 1, a menos que x = y = z = 3. Mas Euler e possivelmente Fermat sabia(m) que não há soluções neste caso. Assim, para cada tripla x, y e z, todos maiores do que 2, só pode haver apenas uma quantidade finita de soluções para a equação diofantina  ax + by = cz. – R. D. Mauldin [4]

Ainda em [4], você pode encontrar alguns problemas relacionados à Conjectura de Beal, como, por exemplo, a Conjectura abc e a Conjectura de Fermat-Catalan. E se ficou interessado mesmo pelo problema, você pode encontrar outras informações, tais como as regras para submissão de uma solução ou de um contra-exemplo, em [1] e [5].

Desafio

Mostre que a Conjectura de Beal implica no Último Teorema de Fermat (mas não vice-versa).


 Esta conjectura é também conhecida como Conjectura de Tijdeman-Zagier (veja [3]).


referências

[1] D. Castelvecchi. Mathematics Prize Ups the Ante to $1 Million. June 4, 2013.

[2] H. Darmon and A. Granville. On the equations z^m = F(x, y) and Ax^p + By^q = cZ^r, Bull. London Math. Soc. 27 (1995), 513–543.

[3] N. Elkies. The ABCs of Number Theory. Harvard Math. Rev. 1, 64-76, 2007.

[4] R. D. Mauldin. A Generalization of Fermat’s Last Theorem: The Beal Conjecture and Prize Problem. Notices of the American Mathematical Society. 44, 1436-1437, 1997.

[5] R. D. Mauldin, R. D. The Beal Conjecture and Prize.

[6] E. W. Weisstein. Fermat’s Last Theorem. From MathWorld – A Wolfram Web Resource.

[7] E. W. Weisstein. Goldbach Conjecture. From MathWorld – A Wolfram Web Resource.

Anúncios

Deixe um comentário

Preencha os seus dados abaixo ou clique em um ícone para log in:

Logotipo do WordPress.com

Você está comentando utilizando sua conta WordPress.com. Sair / Alterar )

Imagem do Twitter

Você está comentando utilizando sua conta Twitter. Sair / Alterar )

Foto do Facebook

Você está comentando utilizando sua conta Facebook. Sair / Alterar )

Foto do Google+

Você está comentando utilizando sua conta Google+. Sair / Alterar )

Conectando a %s