Uma curiosidade sobre potências do número de ouro


Veremos neste post como se deduz, de uma forma bem simples, uma expressão recursiva para um termo geral da sequência formada pelas potências do número de ouro. Veremos também que tal expressão é bem parecida com a de um termo geral da sequência de Fibonacci.


Denote, como usualmente, o número de ouro pela letra grega φ (fi).

Dado que φ é uma das raízes da equação x² – x – 1 = 0, temos que φ² = φ + 1. Multiplicando por φ os dois lados desta última igualdade, tem-se que φ³ = φ² + φ. Continuando este processo indutivamente chegaremos a seguinte expressão para a n-ésima potência do número de ouro:

\phi^n = \phi^{n-1} + \phi^{n-2}, \;\; \mbox{para todo} \;\; n \geq 2   (I)

Para quem não lembra,

F_{n} = F_{n-1} + F_{n-2}, \;\; \mbox{para todo} \;\; n \geq 2   (II)

onde Fn denota o n-ésimo termo da sequência de Fibonacci. Agora compare (I) com (II).

De forma análoga, se obtém uma expressão recursiva para o termo geral da seqüência formada pelas potências do inverso do número de ouro. De fato, dado que φ = (1 + √5)/2, vemos que

\frac{1}{\phi} = \frac{-1+\sqrt{5}}{2}= \phi -1   (III)

Fazendo λ = 1/φ, segue de (III) que λ = φ – 1 e assim

λ² = (φ – 1)² = φ² – 2φ + 1 = (φ + 1) – 2φ + 1 = 1 – φ + 1 = -λ + 1 (IV)

Multiplicando (IV) por λ, teremos λ³ = λ – λ², de modo que chegaremos a seguinte expressão da n-ésima potência λ:

λn = λn-2 – λn-1, para todo n ≥ 2.

Podemos reescrever esta igualdade como

\left(\frac{1}{\phi}\right)^n = \left(\frac{1}{\phi}\right)^{n-2} - \left(\frac{1}{\phi}\right)^{n-1}.

Desafio

Mostre que φ³ – φ– 3 = 4.
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