Exemplos de anéis comutativos


Não é objetivo deste post definir os conceitos de anel de integridade, domínio de fatoração única, domínio de ideais principais, domínio Euclidiano ou corpo, e sim mostrar exemplos que ilustram o fato da cadeia de continências

anéis comutativos ⊃ anéis de integridade ⊃ domínios de fatoração única ⊃ domínios de ideias principais ⊃ domínios Euclidiano ⊃ corpos

ser própria, em cada passo.

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Anéis

Nota


anéis comutativos ⊃ anéis de integridade ⊃ domínios de fatoração única ⊃ domínios de ideias principais ⊃ domínios Euclidiano ⊃ corpos

Teorema de Dubnov-Ivanov-Nagata-Higman


Estou cursando uma disciplina (na área de Álgebra) chamada ‘Super-Álgebras‘. Estas álgebras têm se mostrado uma ótima ferramenta para “atacar” diversos problemas da matemática e da física. O que tem me chamado a atenção é a quantidade de problemas em aberto que têm aparecido durante as aulas deste curso. Lembro que desde a segunda aula, eles já deram as caras. Alguns com enunciados complicados e outros bem simples de entender. E é destes últimos que falarei aqui.

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Grupos à esquerda?


Quando definimos um grupo G em álgebra pedimos que exista um elemento e \in G  de modo que eg = ge = g, para todo g G. Tal elemento, como você deve lembrar, é chamado de unidade de G ou, às vezes, de elemento neutro de G.

Neste post mostramos a unicidade do elemento neutro de um grupo.

Além disso, exige-se também, além da associatividade da operação em G, que para cada elemento de g em G, exista h \in G  tal que hg = gh = e. Tal elemento h é chamado de inverso de g e, pela unicidade de tal elemento para cada g (por quê?), denota-se-o por g^{-1}.

Não sei se você sabia, mas poderíamos pedir somente a existência de unidade à esquerda e inverso à esquerda na definição de grupos. Isto é, se existe e \in G  tal que eg = g, para todo g \in G  , e se para cada g \in G  existe h \in G  tal que hg = e  , então é verdade que ge = g e gh = e. De fato, se h é um inverso à esquerda para g, então

h(gh) = (hg)h = eh = h

Como todo elemento de G possui inverso à esquerda, podemos “multiplicar” à esquerda, de ambos os lados da igualdade h(gh) = h, pelo inverso de h para obtermos gh = e. Ou seja,

hg = e \Rightarrow gh = e

Observe que na prova acima usamos o fato de G possuir uma unidade à esquerda! Além disso, ficou claro também que o inverso à direita de g é o mesmo que o inverso à esquerda.

Agora provemos que dado g em G, temos a seguinte implicação:

eg = g \Rightarrow ge = g

Para tanto vamos usar que cada elemento de G possui também inverso à direita (como mostrado acima!):

ge = g(hg) = (gh)g = eg = g

É isso…

PS.: Ainda bem que não existe mais “esquerda” no Brasil, se não iriam pensar que eu seria um “esquerdista”.

Bibliografia: S. LANG, Algebra, Addison-Wesley, 1993, 3ª Ed.

RE: Um probleminha


A muito tempo atrás (ago/2009) havia postado um probleminha para que os leitores resolvessem. Prometi uma solução na semana seguinte à publicação e até agora nada. Fiquei todo esse tempo tentando resolvê-lo e somente essa semana consegui uma saída. (risos)

Chega de conversa e vamos ao que realmente interessa:

Problema: Encontre todas as funções f\colon \mathbb{Z}_{+} \to \mathbb{Z}_{+} que tenham a seguinte propriedade:

f(f(m) + f(n)) = m + n , para todos m, n \in \mathbb{Z}_{+} .

Solução: Tomando m = n = 0, obtemos f(2f(0)) = 0. Agora fazendo a = f(0) e m = n = 2a, teremos que

4a = m + n =  f(f(m) + f(n)) = f(f(2a) + f(2a)) = f(0 + 0) = f(0) = a.

Isto mostra que a = 0 e, portanto, que f(0) = 0.

Agora fazendo n = 0 e m qualquer, vemos que

m = m + 0 = f(f(m) + f(0)) = f(f(m) + 0) = f(f(m)),

ou seja, f(f(m)) = m para todo inteiro não-negativo m. Em particular, aplicando f em ambos os lados da equação original obtemos

f(m) + f(n) = f(f(f(m) + f(n))) = f(m + n).

Em particular, f(m + 1) = f(m) + f(1). Fazendo b = f(1), com uma indução simples sobre m prova-se que f(m) = mb, para inteiro não negativo m. Por exemplo, f(0) = 0 = 0.b, f(1) = 1f(1), f(2) = f(1 + 1) = f(1) + f(1) = 2b, f(3) = f(2 + 1) = f(2) + f(1) = 2b + b = 3b, etc.

Finalmente, m = f(f(m)) = f(mb) = mb², de onde segue que b² = 1 e, portanto, b = 1. Daí podemos concluir que existe uma única função com a propriedade com a propriedade requerida: f(m) = m, para todo inteiro não negativo m.

E é isso…

Um probleminha


Hoje trago pra vocês um problema para começarmos a semana com todo o gás.

O problema consiste em encontrar todas as funções f\colon \mathbb{Z}_{+} \to \mathbb{Z}_{+} que tenham a seguinte propriedade:

f(f(m) + f(n)) = m + n , para todos m, n \in \mathbb{Z}_{+} .

Na próxima semana, caso ninguém consiga resolver, atualizo este post com uma solução.

Como sou um ‘cara legal’, coloquei logo abaixo um pequeno “roteiro”. Mas lembre-se: não leia-o antes de tentar resolver o problema!

Bom trabalho e até a próxima! 😉

Roteiro: Comece tomando m=n=0 e depois m=n=2\cdot f(0) para concluir que f(0) = 0 e, portanto, que f(f(m)) = m .

Lema de Schur – a recíproca


Acho que todo algebrista conhece o famoso e importante Lema de Schur*:

Lema: Se M e N são módulos simples (ou irredutíveis), então qualquer homomorfismo de M para N ou é um isomorfismo ou é nulo. Em particular, o anel de endomorfismos de um módulos simples é um anel com divisão.

Mas então uma pergunta natural é se vale a recíproca deste lema.

Como veremos no exemplo a seguir, tal recíproca não é verdadeira em geral. O exemplo abaixo é um exercício proposto no Capítulo 3 do livro “Basic Algebra II – N. Jacobson“.

Para tanto, sejam M um espaço vetorial sobre um corpo k, com base \{m_1 , m_2\} , e R o conjunto das transformações k-lineares de M em M cuja matriz com respeito a base acima é uma matriz triangular superior, ou seja,

R := \{ T \colon M \to M \ : \ T(m_1) = a m_1 \ \mbox{e} \ T(m_2) = bm_1 + cm_2 \}

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