Uma curiosidade sobre potências do número de ouro


Veremos neste post como se deduz, de uma forma bem simples, uma expressão recursiva para um termo geral da sequência formada pelas potências do número de ouro. Veremos também que tal expressão é bem parecida com a de um termo geral da sequência de Fibonacci.


Denote, como usualmente, o número de ouro pela letra grega φ (fi).

Dado que φ é uma das raízes da equação x² – x – 1 = 0, temos que φ² = φ + 1. Multiplicando por φ os dois lados desta última igualdade, tem-se que φ³ = φ² + φ. Continuando este processo indutivamente chegaremos a seguinte expressão para a n-ésima potência do número de ouro:

\phi^n = \phi^{n-1} + \phi^{n-2}, \;\; \mbox{para todo} \;\; n \geq 2   (I)

Para quem não lembra,

F_{n} = F_{n-1} + F_{n-2}, \;\; \mbox{para todo} \;\; n \geq 2   (II)

onde Fn denota o n-ésimo termo da sequência de Fibonacci. Agora compare (I) com (II).

De forma análoga, se obtém uma expressão recursiva para o termo geral da seqüência formada pelas potências do inverso do número de ouro. De fato, dado que φ = (1 + √5)/2, vemos que

\frac{1}{\phi} = \frac{-1+\sqrt{5}}{2}= \phi -1   (III)

Fazendo λ = 1/φ, segue de (III) que λ = φ – 1 e assim

λ² = (φ – 1)² = φ² – 2φ + 1 = (φ + 1) – 2φ + 1 = 1 – φ + 1 = -λ + 1 (IV)

Multiplicando (IV) por λ, teremos λ³ = λ – λ², de modo que chegaremos a seguinte expressão da n-ésima potência λ:

λn = λn-2 – λn-1, para todo n ≥ 2.

Podemos reescrever esta igualdade como

\left(\frac{1}{\phi}\right)^n = \left(\frac{1}{\phi}\right)^{n-2} - \left(\frac{1}{\phi}\right)^{n-1}.

Desafio

Mostre que φ³ – φ– 3 = 4.

Uma data curiosa


dataO dia de hoje, 11 de dezembro de 2013, produz a sequência-data 11, 12, 13. No ano passado tivemos uma sequência similar em 10 de novembro de 2012: 10, 11, 12. Aliás, neste início do Século XXI tivemos uma sequência-data a cada ano, depois de 2003.

E quando será a próxima?

Provavelmente não estaremos vivos quando a próxima aparecer, pois a próxima sequência-data dará as caras somente em 1º de fevereiro de 2103, ou seja, daqui a aproximadamente 90 anos, ou se preferir, 100 anos depois da primeira sequência deste tipo do século XXI, que ocorreu em 1º de fevereiro de 2003.

Note que a cada 100 anos consecutivos – aquilo que chamamos de século – temos apenas 11 sequências-data.

Alguma outra curiosidade sobre o dia de hoje?

É melhor jogar os mesmos números na loteria?


As chances de ganhar na loteria são iguais se a pessoa joga sempre os mesmos números, se o jogador muda os números, se escolhe uma sequência do tipo 1, 2, 3, 4, 5, 6 ou se usa uma máquina para escolher os números.

Costuma-se dizer que os números não têm memória.

Mas há um detalhe: quando o apostador escolhe a máquina como alternativa, é mais provável que a seleção de números não seja tão comum, de forma que, se esta aposta for a vencedora, provavelmente não terá que dividir o prêmio com tanta gente.

Matemático, quase a melhor das profissões


No post anterior coloquei um ranking, baseado na última avaliação trienal da Capes, com os melhores programas de pós-graduação em matemática do país. Nada mais natural do que perguntar se vale a pena seguir a carreira de matemático. Veja isso então: todo ano é realizado um estudo, pelo site CareerCast.com, nos Estados Unidos, para classificar os 200 melhores e piores trabalhos. O site elabora o ranking levando em consideração os seguintes critérios: ambiente de trabalho, salário, estresse, demanda física e mercado de trabalho. Algum tempo atrás escrevi um post sobre esse ranking.

Em 2009, a profissão de matemático foi classificada como a melhor de todas. Em 2010, “ocupamos” a sexta posição e, agora em 2011, quase “voltamos” ao topo: segunda posição. Nada mal!

O salário médio anual de um matemático é atualmente de US$ 94 mil, o que os coloca na 9ª posição das profissões mais bem pagas dos EUA. Se eu não errei nas contas, ‘matemático’ é só o 31º trabalho menos estressante. A profissão menos estressante é a de restaurador de livros. Mas a remuneração é baixa para os padrões americano: em média US$ 31 mil anuais.

 

Matemático, a melhor das profissões


Foi realizado nos Estados Unidos um estudo de 200 profissões do qual resultou uma classificação das mesmas de acordo com cinco critérios inerentes a todo tipo de trabalho: ambiente de trabalho, renda, chance de se obter um emprego, exigências físicas e stress.  A profissão de matemático foi classificada como a melhor entre todas.

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O anúncio do resultado da pesquisa apareceu em artigo no Wall Street Journal, no dia 6 de janeiro de 2009. Para ler uma tradução deste artigo você pode acessar o seguinte endereço: mtm.ufsc.br/~exel/jobs.html.

Pena que no Brasil não existe a profissão de Matemático… e sim Professor de Matemática.

Obs.: A profissião de lenhador foi a última colocada. Talvez isso justifique a imagem acima!