Uma curiosidade sobre potências do número de ouro


Veremos neste post como se deduz, de uma forma bem simples, uma expressão recursiva para um termo geral da sequência formada pelas potências do número de ouro. Veremos também que tal expressão é bem parecida com a de um termo geral da sequência de Fibonacci.


Denote, como usualmente, o número de ouro pela letra grega φ (fi).

Dado que φ é uma das raízes da equação x² – x – 1 = 0, temos que φ² = φ + 1. Multiplicando por φ os dois lados desta última igualdade, tem-se que φ³ = φ² + φ. Continuando este processo indutivamente chegaremos a seguinte expressão para a n-ésima potência do número de ouro:

\phi^n = \phi^{n-1} + \phi^{n-2}, \;\; \mbox{para todo} \;\; n \geq 2   (I)

Para quem não lembra,

F_{n} = F_{n-1} + F_{n-2}, \;\; \mbox{para todo} \;\; n \geq 2   (II)

onde Fn denota o n-ésimo termo da sequência de Fibonacci. Agora compare (I) com (II).

De forma análoga, se obtém uma expressão recursiva para o termo geral da seqüência formada pelas potências do inverso do número de ouro. De fato, dado que φ = (1 + √5)/2, vemos que

\frac{1}{\phi} = \frac{-1+\sqrt{5}}{2}= \phi -1   (III)

Fazendo λ = 1/φ, segue de (III) que λ = φ – 1 e assim

λ² = (φ – 1)² = φ² – 2φ + 1 = (φ + 1) – 2φ + 1 = 1 – φ + 1 = -λ + 1 (IV)

Multiplicando (IV) por λ, teremos λ³ = λ – λ², de modo que chegaremos a seguinte expressão da n-ésima potência λ:

λn = λn-2 – λn-1, para todo n ≥ 2.

Podemos reescrever esta igualdade como

\left(\frac{1}{\phi}\right)^n = \left(\frac{1}{\phi}\right)^{n-2} - \left(\frac{1}{\phi}\right)^{n-1}.

Desafio

Mostre que φ³ – φ– 3 = 4.
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Probleminha vira meme e vai parar em capa de jornal


O jornal chileno Las Últimas Noticias, um dos periódicos mais lidos naquele país, trouxe como matéria de capa um tema aparentemente inacreditável para um periódico que se dedica, principalmente, a elaborar matérias de entretenimento e atualidades televisivas.

Eis a capa:

Edição de 9 de novembro de 2012

Edição de 9 de novembro de 2012

Como a imagem acima pode sugerir, este problema estava atormentando os estudantes chilenos e daí o Las Últimas Noticias fez esta linda capa. Mas não foi bem isso que aconteceu. Veja: “El problema matemático se convirtió en meme en distintos sitios de internet“, disse o jornal. (Veja aqui uma imagem de uma das páginas do jornal com alguns memes.)

Segundo o jornal, os internautas chilenos estavam divididos entre os que diziam que o resultado é 1 e os que asseguravam que é 9. Então o jornal convidou três professores de matemática para analisarem o problema e sanar essa controvérsia.

Leia aqui (em espanhol) a resposta dos especialistas. Mas acho que você não vai precisar, né!? Responda a enquete abaixo e se quiser pode justificar sua resposta no ambiente para comentários.

Nós matemáticos não esbarramos com esse tipo problema porque não estamos acostumados a escrever estas expressões “na mesma linha”. Para tanto, usamos, frequentemente, as frações.

A capa deve ter feito sucesso, afinal veio parar neste pequeno blog, além de ter sido assunto no portal do Clube de Matemática da Sociedade Portuguesa de Matemática (SPM), onde afirma que esta notícia foi uma das mais lidas do Chile no dia da publicação. Assim como sugerido pela própria SPM, se no Brasil os jornais ou telejornais abrissem espaço para este tipo de notícia certamente as suas audiências iam aumentar e gerar nas pessoas uma curiosidade científica tão necessária a todos nós. O que você acha?

Conjectura de Beal


Andrew Beal, banqueiro apaixonado pela matemática, oferece US$ 1 milhão para quem resolver um problema proposto por ele em 1993.

É impressionante a (enorme) quantidade de problemas na teoria dos números de fácil entendimento, mesmo para não-matemáticos, e de soluções extremamente complicadas, mesmo para os matemáticos. Isto quando elas existem. Não poderia deixar de citar dois dos mais conhecidos: o Último Teorema de Fermat [6] e a Conjectura de Goldbach [7]. O primeiro deles foi resolvido em 1994, pelos matemáticos Andrew Wiles e Richard Taylor, e o segundo possui apenas soluções parciais (veja [7]).

É justamente sobre um problema de fácil entendimento e ainda sem solução que vamos falar nos próximos parágrafos. Em geral, este tipo de problema é chamado de conjectura ou de problema em aberto.

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Exemplos de anéis comutativos


Não é objetivo deste post definir os conceitos de anel de integridade, domínio de fatoração única, domínio de ideais principais, domínio Euclidiano ou corpo, e sim mostrar exemplos que ilustram o fato da cadeia de continências

anéis comutativos ⊃ anéis de integridade ⊃ domínios de fatoração única ⊃ domínios de ideias principais ⊃ domínios Euclidiano ⊃ corpos

ser própria, em cada passo.

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Cursos Online


Como a maioria de vocês deve saber, hoje em dia há várias opções de cursos online na internet. Mas como quase sempre, há um lado bom e um lado ruim nisto.

O lado bom é que você pode revisar/estudar diversos conteúdos a qualquer hora, em qualquer lugar e quantas vezes quiser e for necessário, bastando para isto ter por perto um computador ou tablet conectado à internet. Há também a possibilidade de se qualificar em uma determinada área.

Por outro lado, é bom ter em mente que existe muito material de qualidade duvidosa na internet e não seria diferente no caso das vídeo-aulas. Este é justamente o lado ruim.

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Quem é o professor de Matemática da Escola Básica


PROFMAT

PROFMAT

Com o objetivo de traçar um perfil fundamentado do professor de Matemática da Escola Básica, a Sociedade Brasileira de Matemática (SBM) levou a cabo um estudo técnico, quantitativo e qualitativo, dos resultados dos três primeiros exames nacionais de acesso ao Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional (2011, 2012 e 2013), PROFMAT.

Esse estudo está disponível, na íntegra, aqui