Exemplos de anéis comutativos


Não é objetivo deste post definir os conceitos de anel de integridade, domínio de fatoração única, domínio de ideais principais, domínio Euclidiano ou corpo, e sim mostrar exemplos que ilustram o fato da cadeia de continências

anéis comutativos ⊃ anéis de integridade ⊃ domínios de fatoração única ⊃ domínios de ideias principais ⊃ domínios Euclidiano ⊃ corpos

ser própria, em cada passo.

Continuar lendo

Anúncios

Um epi que não é sobrejetivo


Falando ainda sobre a questão da “unicidade” dos contra-exemplos [veja o este post] …

Quando estuda-se Teoria de Categorias temos a oportunidade conhecer os conceitos de epimorfismo (também chamado de epic morphism ou simplesmente epi) e de monomorfismo (também chamado de monic morphism ou simplesmente mono). Por exemplo, na categoria dos conjuntos, muitas vezes denotada por Set, toda sobrejeção (resp., injeção) é um epi (resp., mono). Este resultado também é válido na categorias dos anéis (Ring). Então uma questão natural seria a seguinte: Continuar lendo

Subgrupo Normal


Dentre as várias coisas difíceis na matemática, na minha opinião, os “contra-exemplos” ocupam um lugar de destaque. Em muitos casos, a comunidade matemática sabe da existência de um número pequeno destes para um(a) determinado(a) problema (pergunta).

Nesta última terça-feira (03 de março), depois de uma aula que assisti num curso de álgebra, fiquei inculcado com um contra-exemplo dado pelo professor.

A questão era seguinte: Continuar lendo

Qual o Teorema? – parte 3


Este é o nosso terceiro post da série Qual o Teorema?. O primeiro deles foi respondido pelo leitor Júnior César, enquanto o segundo, até agora ninguém postou uma resposta. 

Sem mais, segue abaixo a demonstração:

Vamos supor inicialmente que Nuc(T)≠0 e seja B = \{u_1, \dots , u_n\} uma base de Nuc(T). Observe que Nuc(T) tem dimensão finita pois está contido em U. Estedemos o conjunto B a uma base B'=\{u_1, \dots , u_n, v_1, \dots, v_m \} de U. Agora considere os seguintes elementos de V:

T(u_1) , \dots , T(u_n) , T(v_1) , \dots , T(v_m)

e observe que T(u_i) = 0 para i = 1, … , n.

Continuar lendo

Comutatividade da multiplicação em Anéis


Voltamos a falar sobre comutatividade em um anel, só que desta vez, comutatividade da “multiplicação”.

Seja R um anel. Mostraremos que R é comutativo sempre que x^2 - x \in Z(R) , para todo x \in R , onde

Z(R) = \{z \in R : z \cdot r = r \cdot z , \forall r \in R \} .

Observe que para mostrar que um dado anel é comutativo, é suficiente verificar que Z(R) = R . Mas é claro que Z(R) é um subconjunto de R . Donde, restanos “apenas” verificar que R \subset Z(R) .

Para tal, sejam a, b \in R e considere x = a + b . Temos por hipótese que

x^2 - x = (a + b)^2 - (a+b) = (a^2 - a)+(b^2-b) + (ab+ba) \in Z(R)

Agora dado que a^2 - a , b^2 - b  \in Z(R) e Z(R) é um subanel (consulte a página Teorema) de R , segue de • que ab + ba \in Z(R) . Logo,

a^2 b + aba = a(ab + ba) = (ab + ba)a = aba + ba^2 ,

ou seja, a^2b = ba^2 . Dado que esta última igualdade é verdadeira para todo b \in R , segue que a^2 \in Z(R) . E, portanto, a = a^2 -(a^2 - a) \in Z(R) para todo a \in R . O que conclui nossa tese!

Novamente… você leitor, seria capaz de dar uma prova diferente da nossa para tal probleminha?

Comutatividade da adição em Anéis


O intuito deste artigo é mostrar que a exigência da comutatividade da operação de adição (+) em um anel R qualquer é desnecessária, desde que o anel tenha unidade, ou seja, a propriedade a + b = b + a pode ser provada a partir dos outros axiomas.

De fato, dados a , b \in R , expandiremos o produto (1+a)(1+b) de duas formas diferentes, usando as propriedades distributiva e associativa do anel.

» (1+a)(1+b) = (1+a) \cdot 1 + (1+a) \cdot b = (1 \cdot 1 + a \cdot 1) + (1 \cdot b + a \cdot b) =

= (1+a) + (b + ab) = 1 + [(a+b)+ab]

» (1+a)(1+b) = 1 \cdot (1+b) + a \cdot (1+b) = (1 \cdot 1+1 \cdot b) + (a \cdot 1 + a \cdot b) =

= (1 + b) + (a + ab) = 1 + [(b + a) + ab] ••

Igualando • e ••

1 + [(a+b)+ab] = 1 + [(b + a) + ab] .

Como R é um grupo sobre a adição (+), podemos cancelar 1 do lado esquerdo e ab do lado direito, de cada lado da igualdade acima. Donde, obteremos

a + b = b + a .

Você leitor seria capaz de dar uma outra solução para o problema acima?