Probleminha vira meme e vai parar em capa de jornal


O jornal chileno Las Últimas Noticias, um dos periódicos mais lidos naquele país, trouxe como matéria de capa um tema aparentemente inacreditável para um periódico que se dedica, principalmente, a elaborar matérias de entretenimento e atualidades televisivas.

Eis a capa:

Edição de 9 de novembro de 2012

Edição de 9 de novembro de 2012

Como a imagem acima pode sugerir, este problema estava atormentando os estudantes chilenos e daí o Las Últimas Noticias fez esta linda capa. Mas não foi bem isso que aconteceu. Veja: “El problema matemático se convirtió en meme en distintos sitios de internet“, disse o jornal. (Veja aqui uma imagem de uma das páginas do jornal com alguns memes.)

Segundo o jornal, os internautas chilenos estavam divididos entre os que diziam que o resultado é 1 e os que asseguravam que é 9. Então o jornal convidou três professores de matemática para analisarem o problema e sanar essa controvérsia.

Leia aqui (em espanhol) a resposta dos especialistas. Mas acho que você não vai precisar, né!? Responda a enquete abaixo e se quiser pode justificar sua resposta no ambiente para comentários.

Nós matemáticos não esbarramos com esse tipo problema porque não estamos acostumados a escrever estas expressões “na mesma linha”. Para tanto, usamos, frequentemente, as frações.

A capa deve ter feito sucesso, afinal veio parar neste pequeno blog, além de ter sido assunto no portal do Clube de Matemática da Sociedade Portuguesa de Matemática (SPM), onde afirma que esta notícia foi uma das mais lidas do Chile no dia da publicação. Assim como sugerido pela própria SPM, se no Brasil os jornais ou telejornais abrissem espaço para este tipo de notícia certamente as suas audiências iam aumentar e gerar nas pessoas uma curiosidade científica tão necessária a todos nós. O que você acha?

Anúncios

Exemplos de anéis comutativos


Não é objetivo deste post definir os conceitos de anel de integridade, domínio de fatoração única, domínio de ideais principais, domínio Euclidiano ou corpo, e sim mostrar exemplos que ilustram o fato da cadeia de continências

anéis comutativos ⊃ anéis de integridade ⊃ domínios de fatoração única ⊃ domínios de ideias principais ⊃ domínios Euclidiano ⊃ corpos

ser própria, em cada passo.

Continuar lendo

Grupos à esquerda?


Quando definimos um grupo G em álgebra pedimos que exista um elemento e \in G  de modo que eg = ge = g, para todo g G. Tal elemento, como você deve lembrar, é chamado de unidade de G ou, às vezes, de elemento neutro de G.

Neste post mostramos a unicidade do elemento neutro de um grupo.

Além disso, exige-se também, além da associatividade da operação em G, que para cada elemento de g em G, exista h \in G  tal que hg = gh = e. Tal elemento h é chamado de inverso de g e, pela unicidade de tal elemento para cada g (por quê?), denota-se-o por g^{-1}.

Não sei se você sabia, mas poderíamos pedir somente a existência de unidade à esquerda e inverso à esquerda na definição de grupos. Isto é, se existe e \in G  tal que eg = g, para todo g \in G  , e se para cada g \in G  existe h \in G  tal que hg = e  , então é verdade que ge = g e gh = e. De fato, se h é um inverso à esquerda para g, então

h(gh) = (hg)h = eh = h

Como todo elemento de G possui inverso à esquerda, podemos “multiplicar” à esquerda, de ambos os lados da igualdade h(gh) = h, pelo inverso de h para obtermos gh = e. Ou seja,

hg = e \Rightarrow gh = e

Observe que na prova acima usamos o fato de G possuir uma unidade à esquerda! Além disso, ficou claro também que o inverso à direita de g é o mesmo que o inverso à esquerda.

Agora provemos que dado g em G, temos a seguinte implicação:

eg = g \Rightarrow ge = g

Para tanto vamos usar que cada elemento de G possui também inverso à direita (como mostrado acima!):

ge = g(hg) = (gh)g = eg = g

É isso…

PS.: Ainda bem que não existe mais “esquerda” no Brasil, se não iriam pensar que eu seria um “esquerdista”.

Bibliografia: S. LANG, Algebra, Addison-Wesley, 1993, 3ª Ed.

Lema de Schur – a recíproca


Acho que todo algebrista conhece o famoso e importante Lema de Schur*:

Lema: Se M e N são módulos simples (ou irredutíveis), então qualquer homomorfismo de M para N ou é um isomorfismo ou é nulo. Em particular, o anel de endomorfismos de um módulos simples é um anel com divisão.

Mas então uma pergunta natural é se vale a recíproca deste lema.

Como veremos no exemplo a seguir, tal recíproca não é verdadeira em geral. O exemplo abaixo é um exercício proposto no Capítulo 3 do livro “Basic Algebra II – N. Jacobson“.

Para tanto, sejam M um espaço vetorial sobre um corpo k, com base \{m_1 , m_2\} , e R o conjunto das transformações k-lineares de M em M cuja matriz com respeito a base acima é uma matriz triangular superior, ou seja,

R := \{ T \colon M \to M \ : \ T(m_1) = a m_1 \ \mbox{e} \ T(m_2) = bm_1 + cm_2 \}

Continuar lendo

A igualdade: – x – = +


Acho que muito de vocês já devem ter visto diversas formas de provar o famoso “menos × menos = mais“. Neste sentido, é complicado mostrar algo de novo… mas não custa nada tentar!

Há provas formais (feita sobre teoria de anéis), menos formais (usando somente os números inteiros) e totalmente informal (inimigo do meu inimigo é meu amigo). Não sei em que categoria a prova abaixo se enquadra, mas vou tentar não ser muito formal, pois acho que isso cansa um pouco o leitor.

Vamos simplificar “ab + (-a)b +(-a)(-b)” de duas formas diferentes.

› 1ª Forma: ab + (-a)b + (-a)(-b) = ab + (-a)[b + (- b)] =ab + (-a)0 = ab

› 2ª Forma: ab + (-a)b + (-a)(-b)=[a + (-a)]b + (-a)(-b)=0b + (-a)(-b)=(-a)(-b)

😉

Grupo Abeliano


Neste artigo, iremos resolver um problema comum em livros de álgebra abstrata e, ao final, deixaremos para o leitor duas perguntas e um exercício. Claramente, ficou para vocês a parte mais difícil!

O Problema: Dado um grupo G com a propriedade (ab)^2 = a^2 b^2 , para todos elementos a e b em G, mostre que G é comutativo (abeliano).

Solução: Dados a e b em G , temos que:

a^2 b^2 = (ab)^2 = (ab)(ab) = a(b(ab)) \Leftrightarrow

ab^2 = b(ab) = (ba)b \Leftrightarrow

ab = ba

Pergunta 1: Dado um grupo G com a propriedade (ab)^3 = a^3 b^3 , para todos elementos a e b em G, é verdade que G é abeliano?

Pergunta 2: Dado um grupo G com a propriedade (ab)^2 = b^2 a^2 , para todos elementos a e b em G, é verdade que G é abeliano?

Exercício: Mostre que se G é um grupo com a propriedade da Pergunta 2, então G tem a propriedade da Pergunta 1, ou seja, (ab)^2 = b^2 a^2 \Rightarrow (ab)^3 = a^3 b^3 .

Observe que, com base no exercício acima, podemos concluir que se a resposta a primeira pergunta for afirmativa, então a resposta a segunda também o é. Ou, de outra forma: se a resposta a segunda pergunta for negativa, então a resposta a primeira também o é.