Exemplos de anéis comutativos


Não é objetivo deste post definir os conceitos de anel de integridade, domínio de fatoração única, domínio de ideais principais, domínio Euclidiano ou corpo, e sim mostrar exemplos que ilustram o fato da cadeia de continências

anéis comutativos ⊃ anéis de integridade ⊃ domínios de fatoração única ⊃ domínios de ideias principais ⊃ domínios Euclidiano ⊃ corpos

ser própria, em cada passo.

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Categoria dos anéis com involução


Vou continuar falando de alguns problemas que “ando” encontrando no meu breve estudo sobre Teoria de Categorias.

Antes de mais nada, acho que seria interessante lembrar ao leitor alguns conceitos. Para tanto, iniciarei com duas definições:

Definição Sejam R e S dois aneis (com unidade). Uma aplicação f \colon R \to S é chamada de anti-homomorfismo se ela possui as três seguintes propriedades:

  1. f(r+s) = f(r) + f(s) , para todos r, s \in R
  2. f(rs) = f(s) f(r) , para todos r, s \in R
  3. f(1_R) = 1_S

Observe que a única diferença entre um anti-homomorfismo e um homomorfismo é a propriedade 2.

Definição Um anel com involução é uma dupla (R, j) , onde R é um anel (com unidade) e  j \colon R \to R é um anti-homorfismo cujo quadrado é igual a aplicação identidade de R , ou seja, j^2 = id_R . (O automorfismo j é chamado de involução sobre o anel R ) Um homomorfismo de anéis com involução (R, j) e (S, k) é uma aplicação f \colon R \to S satisfazendo as duas seguintes condições:

  1. f é homomorfismo de anéis
  2. f \circ j = k \circ f

Com as definições acima, estamos aptos a apresentar nosso problema:

Problema Será que existem anéis com involução (R, j), (R, i), (S, k) e (S, l) e um homomorfismo de anéis com involução, f, onde f \colon (R,j) \to (S,k) e f \colon (R,i) \to (S,l) com j \neq i ou k \neq l?

Note que podemos reformular este problema acima da seguinte maneira:

Será que existem homomorfismos de anéis f \colon R \to S e involuções i,j \colon R \to R e k,l \colon S \to S tais que

f \circ j = k \circ f e f \circ i = l \circ f, com (j,k) \neq (i,l) ?

Mas o leitor pode está se perguntando o que isto tem a ver com teoria de categorias! É fácil explicar:

Se este problema possui um não como resposta podemos concluir, por exemplo, que os seguintes dados formam um categoria:

  • Objetos: A classe dos anéis com involução;
  • Morfismos: Os homomorfismos de anéis com involução;
  • Composição: Obtida naturalmente pela composição dos homomorfismos de anéis;
  • Identidade: id_{(R,j)} = id_R .

Precisamos de um não como resposta ao problema para concluir que hom (X,Y) \cap hom(Z,W) = \emptyset sempre que o par de objetos (X,Y) for diferente do par (Z,W) .

É isso…

Comutatividade da multiplicação em Anéis


Voltamos a falar sobre comutatividade em um anel, só que desta vez, comutatividade da “multiplicação”.

Seja R um anel. Mostraremos que R é comutativo sempre que x^2 - x \in Z(R) , para todo x \in R , onde

Z(R) = \{z \in R : z \cdot r = r \cdot z , \forall r \in R \} .

Observe que para mostrar que um dado anel é comutativo, é suficiente verificar que Z(R) = R . Mas é claro que Z(R) é um subconjunto de R . Donde, restanos “apenas” verificar que R \subset Z(R) .

Para tal, sejam a, b \in R e considere x = a + b . Temos por hipótese que

x^2 - x = (a + b)^2 - (a+b) = (a^2 - a)+(b^2-b) + (ab+ba) \in Z(R)

Agora dado que a^2 - a , b^2 - b  \in Z(R) e Z(R) é um subanel (consulte a página Teorema) de R , segue de • que ab + ba \in Z(R) . Logo,

a^2 b + aba = a(ab + ba) = (ab + ba)a = aba + ba^2 ,

ou seja, a^2b = ba^2 . Dado que esta última igualdade é verdadeira para todo b \in R , segue que a^2 \in Z(R) . E, portanto, a = a^2 -(a^2 - a) \in Z(R) para todo a \in R . O que conclui nossa tese!

Novamente… você leitor, seria capaz de dar uma prova diferente da nossa para tal probleminha?

Comutatividade da adição em Anéis


O intuito deste artigo é mostrar que a exigência da comutatividade da operação de adição (+) em um anel R qualquer é desnecessária, desde que o anel tenha unidade, ou seja, a propriedade a + b = b + a pode ser provada a partir dos outros axiomas.

De fato, dados a , b \in R , expandiremos o produto (1+a)(1+b) de duas formas diferentes, usando as propriedades distributiva e associativa do anel.

» (1+a)(1+b) = (1+a) \cdot 1 + (1+a) \cdot b = (1 \cdot 1 + a \cdot 1) + (1 \cdot b + a \cdot b) =

= (1+a) + (b + ab) = 1 + [(a+b)+ab]

» (1+a)(1+b) = 1 \cdot (1+b) + a \cdot (1+b) = (1 \cdot 1+1 \cdot b) + (a \cdot 1 + a \cdot b) =

= (1 + b) + (a + ab) = 1 + [(b + a) + ab] ••

Igualando • e ••

1 + [(a+b)+ab] = 1 + [(b + a) + ab] .

Como R é um grupo sobre a adição (+), podemos cancelar 1 do lado esquerdo e ab do lado direito, de cada lado da igualdade acima. Donde, obteremos

a + b = b + a .

Você leitor seria capaz de dar uma outra solução para o problema acima?