Grupo Abeliano


Neste artigo, iremos resolver um problema comum em livros de álgebra abstrata e, ao final, deixaremos para o leitor duas perguntas e um exercício. Claramente, ficou para vocês a parte mais difícil!

O Problema: Dado um grupo G com a propriedade (ab)^2 = a^2 b^2 , para todos elementos a e b em G, mostre que G é comutativo (abeliano).

Solução: Dados a e b em G , temos que:

a^2 b^2 = (ab)^2 = (ab)(ab) = a(b(ab)) \Leftrightarrow

ab^2 = b(ab) = (ba)b \Leftrightarrow

ab = ba

Pergunta 1: Dado um grupo G com a propriedade (ab)^3 = a^3 b^3 , para todos elementos a e b em G, é verdade que G é abeliano?

Pergunta 2: Dado um grupo G com a propriedade (ab)^2 = b^2 a^2 , para todos elementos a e b em G, é verdade que G é abeliano?

Exercício: Mostre que se G é um grupo com a propriedade da Pergunta 2, então G tem a propriedade da Pergunta 1, ou seja, (ab)^2 = b^2 a^2 \Rightarrow (ab)^3 = a^3 b^3 .

Observe que, com base no exercício acima, podemos concluir que se a resposta a primeira pergunta for afirmativa, então a resposta a segunda também o é. Ou, de outra forma: se a resposta a segunda pergunta for negativa, então a resposta a primeira também o é.

Comutatividade da multiplicação em Anéis


Voltamos a falar sobre comutatividade em um anel, só que desta vez, comutatividade da “multiplicação”.

Seja R um anel. Mostraremos que R é comutativo sempre que x^2 - x \in Z(R) , para todo x \in R , onde

Z(R) = \{z \in R : z \cdot r = r \cdot z , \forall r \in R \} .

Observe que para mostrar que um dado anel é comutativo, é suficiente verificar que Z(R) = R . Mas é claro que Z(R) é um subconjunto de R . Donde, restanos “apenas” verificar que R \subset Z(R) .

Para tal, sejam a, b \in R e considere x = a + b . Temos por hipótese que

x^2 - x = (a + b)^2 - (a+b) = (a^2 - a)+(b^2-b) + (ab+ba) \in Z(R)

Agora dado que a^2 - a , b^2 - b  \in Z(R) e Z(R) é um subanel (consulte a página Teorema) de R , segue de • que ab + ba \in Z(R) . Logo,

a^2 b + aba = a(ab + ba) = (ab + ba)a = aba + ba^2 ,

ou seja, a^2b = ba^2 . Dado que esta última igualdade é verdadeira para todo b \in R , segue que a^2 \in Z(R) . E, portanto, a = a^2 -(a^2 - a) \in Z(R) para todo a \in R . O que conclui nossa tese!

Novamente… você leitor, seria capaz de dar uma prova diferente da nossa para tal probleminha?