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Inauguremos esta versão do “Morfismo ↔ Matemática Sem Dúvidas” com um problema de Cálculo Diferencial. Na medida do possível, publicaremos pelo menos um post por semana. O ideal seria um por dia!!! Mas escrever sobre matemáticas leva tempo e temos que ter paciência para selecionar conteúdos que sejam de interesse da maioria.

» Problema: Dada uma função F: \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n contínua, suponha que existam n funções g_1 , . . . , g_n : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} de classe C^1 tais que g_1 \circ F , . . . , g_n \circ F sejam de classe C^1 . Mostre que se dg_1 (F(x)) , ... , dg_n (F(x)) são linearmente independentes para todo x \in \mathbb{R}^m , então a função F é de classe C^1 .

Este problema é uma aplicação do Teorema da Função Inversa (TFI)¹. Na solução, usamos a continuidade da função F para garantir que a imagem inversa, por F , de um aberto de \mathbb{R}^n é um aberto em \mathbb{R}^m . Além disso, usamos o fato de os vetores dg_1 (F(x)) , ... , dg_n (F(x)) formarem um conjunto L.I. para nos assegurar que o Jacobiano de uma função, a ser definida, é diferente de zero [onde o Jacobiano de uma função G em x é dado por JG(x) = det G'(x) ] Leia +

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