Subgrupo Normal


Dentre as várias coisas difíceis na matemática, na minha opinião, os “contra-exemplos” ocupam um lugar de destaque. Em muitos casos, a comunidade matemática sabe da existência de um número pequeno destes para um(a) determinado(a) problema (pergunta).

Nesta última terça-feira (03 de março), depois de uma aula que assisti num curso de álgebra, fiquei inculcado com um contra-exemplo dado pelo professor.

A questão era seguinte: Continuar lendo

Grupo Abeliano


Neste artigo, iremos resolver um problema comum em livros de álgebra abstrata e, ao final, deixaremos para o leitor duas perguntas e um exercício. Claramente, ficou para vocês a parte mais difícil!

O Problema: Dado um grupo G com a propriedade (ab)^2 = a^2 b^2 , para todos elementos a e b em G, mostre que G é comutativo (abeliano).

Solução: Dados a e b em G , temos que:

a^2 b^2 = (ab)^2 = (ab)(ab) = a(b(ab)) \Leftrightarrow

ab^2 = b(ab) = (ba)b \Leftrightarrow

ab = ba

Pergunta 1: Dado um grupo G com a propriedade (ab)^3 = a^3 b^3 , para todos elementos a e b em G, é verdade que G é abeliano?

Pergunta 2: Dado um grupo G com a propriedade (ab)^2 = b^2 a^2 , para todos elementos a e b em G, é verdade que G é abeliano?

Exercício: Mostre que se G é um grupo com a propriedade da Pergunta 2, então G tem a propriedade da Pergunta 1, ou seja, (ab)^2 = b^2 a^2 \Rightarrow (ab)^3 = a^3 b^3 .

Observe que, com base no exercício acima, podemos concluir que se a resposta a primeira pergunta for afirmativa, então a resposta a segunda também o é. Ou, de outra forma: se a resposta a segunda pergunta for negativa, então a resposta a primeira também o é.