Grupos à esquerda?


Quando definimos um grupo G em álgebra pedimos que exista um elemento e \in G  de modo que eg = ge = g, para todo g G. Tal elemento, como você deve lembrar, é chamado de unidade de G ou, às vezes, de elemento neutro de G.

Neste post mostramos a unicidade do elemento neutro de um grupo.

Além disso, exige-se também, além da associatividade da operação em G, que para cada elemento de g em G, exista h \in G  tal que hg = gh = e. Tal elemento h é chamado de inverso de g e, pela unicidade de tal elemento para cada g (por quê?), denota-se-o por g^{-1}.

Não sei se você sabia, mas poderíamos pedir somente a existência de unidade à esquerda e inverso à esquerda na definição de grupos. Isto é, se existe e \in G  tal que eg = g, para todo g \in G  , e se para cada g \in G  existe h \in G  tal que hg = e  , então é verdade que ge = g e gh = e. De fato, se h é um inverso à esquerda para g, então

h(gh) = (hg)h = eh = h

Como todo elemento de G possui inverso à esquerda, podemos “multiplicar” à esquerda, de ambos os lados da igualdade h(gh) = h, pelo inverso de h para obtermos gh = e. Ou seja,

hg = e \Rightarrow gh = e

Observe que na prova acima usamos o fato de G possuir uma unidade à esquerda! Além disso, ficou claro também que o inverso à direita de g é o mesmo que o inverso à esquerda.

Agora provemos que dado g em G, temos a seguinte implicação:

eg = g \Rightarrow ge = g

Para tanto vamos usar que cada elemento de G possui também inverso à direita (como mostrado acima!):

ge = g(hg) = (gh)g = eg = g

É isso…

PS.: Ainda bem que não existe mais “esquerda” no Brasil, se não iriam pensar que eu seria um “esquerdista”.

Bibliografia: S. LANG, Algebra, Addison-Wesley, 1993, 3ª Ed.

Subgrupo Normal


Dentre as várias coisas difíceis na matemática, na minha opinião, os “contra-exemplos” ocupam um lugar de destaque. Em muitos casos, a comunidade matemática sabe da existência de um número pequeno destes para um(a) determinado(a) problema (pergunta).

Nesta última terça-feira (03 de março), depois de uma aula que assisti num curso de álgebra, fiquei inculcado com um contra-exemplo dado pelo professor.

A questão era seguinte: Continuar lendo

Grupo Abeliano


Neste artigo, iremos resolver um problema comum em livros de álgebra abstrata e, ao final, deixaremos para o leitor duas perguntas e um exercício. Claramente, ficou para vocês a parte mais difícil!

O Problema: Dado um grupo G com a propriedade (ab)^2 = a^2 b^2 , para todos elementos a e b em G, mostre que G é comutativo (abeliano).

Solução: Dados a e b em G , temos que:

a^2 b^2 = (ab)^2 = (ab)(ab) = a(b(ab)) \Leftrightarrow

ab^2 = b(ab) = (ba)b \Leftrightarrow

ab = ba

Pergunta 1: Dado um grupo G com a propriedade (ab)^3 = a^3 b^3 , para todos elementos a e b em G, é verdade que G é abeliano?

Pergunta 2: Dado um grupo G com a propriedade (ab)^2 = b^2 a^2 , para todos elementos a e b em G, é verdade que G é abeliano?

Exercício: Mostre que se G é um grupo com a propriedade da Pergunta 2, então G tem a propriedade da Pergunta 1, ou seja, (ab)^2 = b^2 a^2 \Rightarrow (ab)^3 = a^3 b^3 .

Observe que, com base no exercício acima, podemos concluir que se a resposta a primeira pergunta for afirmativa, então a resposta a segunda também o é. Ou, de outra forma: se a resposta a segunda pergunta for negativa, então a resposta a primeira também o é.

Unicidade do Elemento Neutro


Dado um grupo (G, \cdot) , sabe-se que existe (por definição!) um elemento e \in G tal que

(1) e \cdot g = g \cdot e = g para todo g \in G .

Tal elemento é único! De fato, se \widehat{e} \in G  possui a propriedade (1), ou seja,

(2) \widehat{e} \cdot g = g \cdot \widehat{e} = g , para todo g \in G ,

temos então que e = \widehat{e} \cdot e = \widehat{e} , onde a primeira igualdade é obtida tomando-se g = e em (2) e a segunda tomando-se g = \widehat{e} em (1).

Nunca vi esta prova em nenhum livro de álgebra (abstrata). Talvez por ser muito simples!!! Você, leitor, seria capaz de postar uma prova para a unicidade de um elemento inverso de g \in G ? Isto é, dado g \in G , mostrar que existe único h \in G tal que g \cdot h = h \cdot g = e . Observe que queremos a prova somente da unicidade, pois a existência é dada pela definição de grupo.