RE: Um probleminha


A muito tempo atrás (ago/2009) havia postado um probleminha para que os leitores resolvessem. Prometi uma solução na semana seguinte à publicação e até agora nada. Fiquei todo esse tempo tentando resolvê-lo e somente essa semana consegui uma saída. (risos)

Chega de conversa e vamos ao que realmente interessa:

Problema: Encontre todas as funções f\colon \mathbb{Z}_{+} \to \mathbb{Z}_{+} que tenham a seguinte propriedade:

f(f(m) + f(n)) = m + n , para todos m, n \in \mathbb{Z}_{+} .

Solução: Tomando m = n = 0, obtemos f(2f(0)) = 0. Agora fazendo a = f(0) e m = n = 2a, teremos que

4a = m + n =  f(f(m) + f(n)) = f(f(2a) + f(2a)) = f(0 + 0) = f(0) = a.

Isto mostra que a = 0 e, portanto, que f(0) = 0.

Agora fazendo n = 0 e m qualquer, vemos que

m = m + 0 = f(f(m) + f(0)) = f(f(m) + 0) = f(f(m)),

ou seja, f(f(m)) = m para todo inteiro não-negativo m. Em particular, aplicando f em ambos os lados da equação original obtemos

f(m) + f(n) = f(f(f(m) + f(n))) = f(m + n).

Em particular, f(m + 1) = f(m) + f(1). Fazendo b = f(1), com uma indução simples sobre m prova-se que f(m) = mb, para inteiro não negativo m. Por exemplo, f(0) = 0 = 0.b, f(1) = 1f(1), f(2) = f(1 + 1) = f(1) + f(1) = 2b, f(3) = f(2 + 1) = f(2) + f(1) = 2b + b = 3b, etc.

Finalmente, m = f(f(m)) = f(mb) = mb², de onde segue que b² = 1 e, portanto, b = 1. Daí podemos concluir que existe uma única função com a propriedade com a propriedade requerida: f(m) = m, para todo inteiro não negativo m.

E é isso…

Um probleminha


Hoje trago pra vocês um problema para começarmos a semana com todo o gás.

O problema consiste em encontrar todas as funções f\colon \mathbb{Z}_{+} \to \mathbb{Z}_{+} que tenham a seguinte propriedade:

f(f(m) + f(n)) = m + n , para todos m, n \in \mathbb{Z}_{+} .

Na próxima semana, caso ninguém consiga resolver, atualizo este post com uma solução.

Como sou um ‘cara legal’, coloquei logo abaixo um pequeno “roteiro”. Mas lembre-se: não leia-o antes de tentar resolver o problema!

Bom trabalho e até a próxima! 😉

Roteiro: Comece tomando m=n=0 e depois m=n=2\cdot f(0) para concluir que f(0) = 0 e, portanto, que f(f(m)) = m .