No artigo Categoria dos anéis com involução fizemos a pergunta seguinte:
Será que existem anéis com involução
e
e um homomorfismo de anéis com involução,
, onde
e
com
ou
?
A resposta é SIM!
De fato, sejam o anel das matrizes, sobre um corpo
, de ordem
,
o homomorfismo (de anéis) identidade e
a função definida por:
onde denota a transposta da matriz
. Não é dificil verificar que
é uma involução.
Nestas condições, tomemos os seguintes homomorfismos de anéis com involução:
e
,
onde aqui estou considerando como homo de anéis e como uma involução.
NOTA: Ao terminar este artigo, encontrei um erro… mas para não perder meu trabalho, resolvi publicá-lo e deixar que vocês encontrem-o!
Ou seja, a pergunta acima continua sem resposta…
[Atualização: 17-4-09 às 11h10] Como já encontrei uma resposta para a pergunta acima, vou revelar o erro neste contra-exemplo:
Erro: Aplicação identidade não é um homomorfismo entre anéis com involução que não sejam comutativos (verifique isso!).
Solução: Com base no erro acima, não foi tão complicado “arrumar” este contra-exemplo. De fato, basta trocar o anel da matrizes pelo anel do números complexos e a aplicação pela aplicação, de
em
, que associa a cada número complexo o seu conjugado. (Verifique isso também!).
Espero que desta vez não haja erros!