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Re: Categoria dos anéis com involução [Atualizado]

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No artigo Categoria dos anéis com involução fizemos a pergunta seguinte:

Será que existem anéis com involução (R, j), (R, i), (S, k) e (S, l) e um homomorfismo de anéis com involução, f, onde f \colon (R,j) \to (S,k) e f \colon (R,i) \to (S,l) com j \neq i ou k \neq l?

A resposta é SIM!

De fato, sejam R = S = M_n({\sf k}) o anel das matrizes, sobre um corpo {\sf k}, de ordem n>1 , 1_R \colon R \to R o homomorfismo (de anéis) identidade e (-)^t \colon R \to R a função definida por:

(-)^t(A) := A^t

onde A^t denota a transposta da matriz A . Não é dificil verificar que (-)^t é uma involução.

Nestas condições, tomemos os seguintes homomorfismos de anéis com involução:

1_R \colon (R, 1_R) \to (R, 1_R)   e  1_R \colon (R, (-)^t) \to (R, (-)^t) ,

onde aqui estou considerando 1_R como homo de anéis e como uma involução.

NOTA: Ao terminar este artigo, encontrei um erro… mas para não perder meu trabalho, resolvi publicá-lo e deixar que vocês encontrem-o!

Ou seja, a pergunta acima continua sem resposta…

[Atualização: 17-4-09 às 11h10] Como já encontrei uma resposta para a pergunta acima, vou revelar o erro neste contra-exemplo:

Erro: Aplicação identidade não é um homomorfismo entre anéis com involução que não sejam comutativos (verifique isso!).

Solução: Com base no erro acima, não foi tão complicado “arrumar” este contra-exemplo. De fato, basta trocar o anel da matrizes pelo anel do números complexos e a aplicação (-)^t pela aplicação, de \mathbb{C} em \mathbb{C} , que associa a cada número complexo o seu conjugado. (Verifique isso também!).

Espero que desta vez não haja erros!

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Categoria dos anéis com involução

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Vou continuar falando de alguns problemas que “ando” encontrando no meu breve estudo sobre Teoria de Categorias.

Antes de mais nada, acho que seria interessante lembrar ao leitor alguns conceitos. Para tanto, iniciarei com duas definições:

Definição Sejam R e S dois aneis (com unidade). Uma aplicação f \colon R \to S é chamada de anti-homomorfismo se ela possui as três seguintes propriedades:

  1. f(r+s) = f(r) + f(s) , para todos r, s \in R
  2. f(rs) = f(s) f(r) , para todos r, s \in R
  3. f(1_R) = 1_S

Observe que a única diferença entre um anti-homomorfismo e um homomorfismo é a propriedade 2.

Definição Um anel com involução é uma dupla (R, j) , onde R é um anel (com unidade) e  j \colon R \to R é um anti-homorfismo cujo quadrado é igual a aplicação identidade de R , ou seja, j^2 = id_R . (O automorfismo j é chamado de involução sobre o anel R ) Um homomorfismo de anéis com involução (R, j) e (S, k) é uma aplicação f \colon R \to S satisfazendo as duas seguintes condições:

  1. f é homomorfismo de anéis
  2. f \circ j = k \circ f

Com as definições acima, estamos aptos a apresentar nosso problema:

Problema Será que existem anéis com involução (R, j), (R, i), (S, k) e (S, l) e um homomorfismo de anéis com involução, f, onde f \colon (R,j) \to (S,k) e f \colon (R,i) \to (S,l) com j \neq i ou k \neq l?

Note que podemos reformular este problema acima da seguinte maneira:

Será que existem homomorfismos de anéis f \colon R \to S e involuções i,j \colon R \to R e k,l \colon S \to S tais que

f \circ j = k \circ f e f \circ i = l \circ f, com (j,k) \neq (i,l) ?

Mas o leitor pode está se perguntando o que isto tem a ver com teoria de categorias! É fácil explicar:

Se este problema possui um não como resposta podemos concluir, por exemplo, que os seguintes dados formam um categoria:

  • Objetos: A classe dos anéis com involução;
  • Morfismos: Os homomorfismos de anéis com involução;
  • Composição: Obtida naturalmente pela composição dos homomorfismos de anéis;
  • Identidade: id_{(R,j)} = id_R .

Precisamos de um não como resposta ao problema para concluir que hom (X,Y) \cap hom(Z,W) = \emptyset sempre que o par de objetos (X,Y) for diferente do par (Z,W) .

É isso…