Lema de Schur – a recíproca


Acho que todo algebrista conhece o famoso e importante Lema de Schur*:

Lema: Se M e N são módulos simples (ou irredutíveis), então qualquer homomorfismo de M para N ou é um isomorfismo ou é nulo. Em particular, o anel de endomorfismos de um módulos simples é um anel com divisão.

Mas então uma pergunta natural é se vale a recíproca deste lema.

Como veremos no exemplo a seguir, tal recíproca não é verdadeira em geral. O exemplo abaixo é um exercício proposto no Capítulo 3 do livro “Basic Algebra II – N. Jacobson“.

Para tanto, sejam M um espaço vetorial sobre um corpo k, com base \{m_1 , m_2\} , e R o conjunto das transformações k-lineares de M em M cuja matriz com respeito a base acima é uma matriz triangular superior, ou seja,

R := \{ T \colon M \to M \ : \ T(m_1) = a m_1 \ \mbox{e} \ T(m_2) = bm_1 + cm_2 \}

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