Problema de cálculo


Na época em que fiz a gradução lembro que o professor de análise matemática propôs o probleminha abaixo. Agora estou cursando uma disciplina de topologia na pós-gradução e o tal o probleminha apareceu novamente. Então resolvi compartilhar com vocês esse problema tão comum em cursos que, de alguma forma, estudam continuidade de funções. Para abranger um público maior e deixar a solução com uma linguagem comum àquela encontrada em livros de cálculo, resolvi então não utilizar nomenclatura de topologia nos resultados usados para a resolução do problema. Vamos ao enunciado do problema:

Seja f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} uma função contínua que preserva a soma, ou seja, f(x+y) = f(x) + f(y), quaisquer que sejam os valores reais de x, y. Então existe \lambda \in \mathbb{R} tal que f(x) = \lambda \cdot x, para todo x \in \mathbb{R}.

Vamos dividir a solução do problema em várias etapas. A ideia básica é mostrar que a funçã o f com a propriedade acima é uma função linear quando restrita ao conjunto \mathbb{Q} dos números racionais. Uma vez mostrado isso, usaremos o seguinte fato (trocando D por \mathbb{Q}):

Lema*: Sejam f, g \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} duas funções contínuas. Se existe um conjunto D denso em \mathbb{R} tal que f(x) = g(x), para todo x em D, então f = g em \mathbb{R}.

O resultado acima, no fundo, diz o seguinte: se duas funções (reais) contínuas coincidem num conjunto denso, então elas são iguais. Ou ainda, para que duas funções (reais) contínuas sejam iguais, basta que elas coincidam num conjunto denso em \mathbb{R}.

Solução:

Passo 1. f(0) = f(0+0) = f(0) + f(0) \Rightarrow f(0) = 0

Passo 2. f(2) = f(1+1) = f(1) + f(1) = 2\cdot f(1)

Por indução finita, segue que:

n \in \mathbb{N}: f(n) = f(1 + (n-1)) = f(1) + f(n-1) = f(1) + (n-1)f(1) = nf(1)

Passo 3. 0 = f(0) = f(x - x) = f(x) + f(-x) \Rightarrow f(-x) = - f(x), para todo x \in \mathbb{R}

Juntando os passos 2 e 3 podemos concluir que f(z) = z\cdot f(1), para todo z \in \mathbb{Z}.

Passo 4. n \in \mathbb{N}: f(1) = f(n \cdot \frac{1}{n}) = f(\frac{1}{n}) + \dots + f(\frac{1}{n}) = n \cdot f(\frac{1}{n}) \Rightarrow f(\frac{1}{n}) = \frac{1}{n} \cdot f(1)

Passo 5. m,n \in \mathbb{N}: f(m/n) = f(m\cdot \frac{1}{n}) = f(\frac{1}{n}) + \dots + f(\frac{1}{n}) = m \cdot f(\frac{1}{n}) = m \cdot \frac{1}{n} \cdot f(1). Logo, f(m/n) = \frac{m}{n} \cdot f(1).

Juntando os passos 3 e 5 podemos concluir que f(q) = q\cdot f(1), para todo q \in \mathbb{Q}.

Passo 6. Definindo a função g\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} por g(x) = \lambda x, para todo x \in \mathbb{R}, onde \lambda=f(1), tem-se que g é uma função contínua (por quê?). Além disso, g(q) = f(1) \cdot q = f(q), para todo q\in \mathbb{Q}, ou seja, f e g coincidem em \mathbb{Q}.

Usando o passo 6 e o Lema acima, podemos concluir que f(x) = \lambda \cdot x, para todo x \in \mathbb{R}, onde \lambda = f(1). \blacksquare

É isso…

(*) Para aqueles que já fizeram um curso de topologia, devem saber que o Lema acima poderia ter sido enunciado da seguinte forma:

Lema: Sejam (X, \sigma) e (Y,\sigma') dois espaços topológicos, onde o espaço (Y, \sigma') verifica o axioma T_2 (Hausdorff) e existe D \subset X denso em X. Se f,g \colon X \to Y são duas funções contínuas tais que f(t) = g(t), para todo t \in D, então f = g.

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RE: Um probleminha


A muito tempo atrás (ago/2009) havia postado um probleminha para que os leitores resolvessem. Prometi uma solução na semana seguinte à publicação e até agora nada. Fiquei todo esse tempo tentando resolvê-lo e somente essa semana consegui uma saída. (risos)

Chega de conversa e vamos ao que realmente interessa:

Problema: Encontre todas as funções f\colon \mathbb{Z}_{+} \to \mathbb{Z}_{+} que tenham a seguinte propriedade:

f(f(m) + f(n)) = m + n , para todos m, n \in \mathbb{Z}_{+} .

Solução: Tomando m = n = 0, obtemos f(2f(0)) = 0. Agora fazendo a = f(0) e m = n = 2a, teremos que

4a = m + n =  f(f(m) + f(n)) = f(f(2a) + f(2a)) = f(0 + 0) = f(0) = a.

Isto mostra que a = 0 e, portanto, que f(0) = 0.

Agora fazendo n = 0 e m qualquer, vemos que

m = m + 0 = f(f(m) + f(0)) = f(f(m) + 0) = f(f(m)),

ou seja, f(f(m)) = m para todo inteiro não-negativo m. Em particular, aplicando f em ambos os lados da equação original obtemos

f(m) + f(n) = f(f(f(m) + f(n))) = f(m + n).

Em particular, f(m + 1) = f(m) + f(1). Fazendo b = f(1), com uma indução simples sobre m prova-se que f(m) = mb, para inteiro não negativo m. Por exemplo, f(0) = 0 = 0.b, f(1) = 1f(1), f(2) = f(1 + 1) = f(1) + f(1) = 2b, f(3) = f(2 + 1) = f(2) + f(1) = 2b + b = 3b, etc.

Finalmente, m = f(f(m)) = f(mb) = mb², de onde segue que b² = 1 e, portanto, b = 1. Daí podemos concluir que existe uma única função com a propriedade com a propriedade requerida: f(m) = m, para todo inteiro não negativo m.

E é isso…

Um probleminha


Hoje trago pra vocês um problema para começarmos a semana com todo o gás.

O problema consiste em encontrar todas as funções f\colon \mathbb{Z}_{+} \to \mathbb{Z}_{+} que tenham a seguinte propriedade:

f(f(m) + f(n)) = m + n , para todos m, n \in \mathbb{Z}_{+} .

Na próxima semana, caso ninguém consiga resolver, atualizo este post com uma solução.

Como sou um ‘cara legal’, coloquei logo abaixo um pequeno “roteiro”. Mas lembre-se: não leia-o antes de tentar resolver o problema!

Bom trabalho e até a próxima! 😉

Roteiro: Comece tomando m=n=0 e depois m=n=2\cdot f(0) para concluir que f(0) = 0 e, portanto, que f(f(m)) = m .

Moedas na balança


Probleminha clássico envolvendo moedas e pesagens:

Temos 105 moedas, entre as quais sabemos que há 3 moedas falsas. Cada moeda verdadeira têm o mesmo peso e o seu peso é maior que o das falsas, que também possuem o mesmo peso. Indicar de que maneira se pode selecionar 26 moedas autênticas realizando somente duas pesagem numa balança de dois pratos.

Será que é possível encontrar as 3 moedas falsas fazendo apenas uma pesagem?

Divirta-se!

Dica (cuidado!): Tente resolver o problema acima com um número menor de moedas.

A Lenda do Problema Insolúvel


Quem nunca ouviu falar da história do gênio precoce que, no 1º ano da Faculdade, resolveu uma equação que “nem Einstein era capaz de resolver” porque chegou atrasado à aula? Eis uma lenda acadêmica que, de forma aproximada, abaixo se reproduz:

Um jovem estudante da Faculdade estava a estudar intensamente para uma exigente cadeira (disciplina) de Matemática. Na noite antes do exame final ficou estudando até muito tarde, de forma que chegou atrasado ao exame.

Quando entrou em sala, viu três problemas escritos no quadro. Resolveu os dois primeiros sem grandes dificuldades, mas o terceiro parecia intratável, não cedendo a quaisquer técnicas. Finalmente, dez minutos antes de o exame acabar, encontrou um método que funcionava. Resolveu o problema e entregou o exame completo.

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Problemas Fundamentais


Apresentaremos numa série de ‘posts’ alguns problemas fundamentais da Matemática: três problemas geométricos de fácil enunciado e que tiveram na base da evolução matemática em geral.

  • Duplicação do cubo: Dado um cubo, construir usando somente régua e compasso, um cubo de volume igual ao dobro do volume do cubo dado.
  • Trissecção de um ângulo: Dividir, usando somente régua e compasso, um ângulo em três partes iguais.
  • Quadratura do círculo: Construir, usando somente régua e compasso, um quadrado de área igual à de um círculo de raio um.

A matemática que nasceu para dar respostas a estes problemas superou amplamente os objetivos. Até o século XIX não se demonstrou a impossibilidade destas construções, continuando os matemáticos a tentar demonstrar a possibilidade de efetuar tais construções. Leia +

O Início


Inauguremos esta versão do “Morfismo ↔ Matemática Sem Dúvidas” com um problema de Cálculo Diferencial. Na medida do possível, publicaremos pelo menos um post por semana. O ideal seria um por dia!!! Mas escrever sobre matemáticas leva tempo e temos que ter paciência para selecionar conteúdos que sejam de interesse da maioria.

» Problema: Dada uma função F: \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n contínua, suponha que existam n funções g_1 , . . . , g_n : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} de classe C^1 tais que g_1 \circ F , . . . , g_n \circ F sejam de classe C^1 . Mostre que se dg_1 (F(x)) , ... , dg_n (F(x)) são linearmente independentes para todo x \in \mathbb{R}^m , então a função F é de classe C^1 .

Este problema é uma aplicação do Teorema da Função Inversa (TFI)¹. Na solução, usamos a continuidade da função F para garantir que a imagem inversa, por F , de um aberto de \mathbb{R}^n é um aberto em \mathbb{R}^m . Além disso, usamos o fato de os vetores dg_1 (F(x)) , ... , dg_n (F(x)) formarem um conjunto L.I. para nos assegurar que o Jacobiano de uma função, a ser definida, é diferente de zero [onde o Jacobiano de uma função G em x é dado por JG(x) = det G'(x) ] Leia +