Teorema

Em geral, na resolução de alguns problemas usamos teoremas bem “conhecidos”, como do Núcleo e Imagem, da Função Implícita, do Isomorfismo para Anéis, Fundamental da Álgebra, dentre muitos outros. Assim, esta página será dedicada aos enunciados destes. Em apenas alguns casos faremos um arcabouço da prova.

Quando resolvermos algum problema, faremos referência ao nome do teorema sem enunciá-lo, deixando assim as soluções mais enxutas. Caso o leitor não lembre ou até mesmo não conheça o(s) resultado(s), poderá encontrá-lo(s) aqui.

Álgebra

» Proposição: Dado um anel R , então o conjunto

Z(R) = \{z \in R : z \cdot r = r \cdot z , \forall r \in R \}

é um subanel de R .

Prova: (i) É claro que Z(R) é um subconjunto de R ;

(ii) Dado que 0 \cdot r = r \cdot 0 , para todo r \in R , então 0 \in Z(R) ;

(iii) Sejam z, w \in Z(R) . Então

(z - w)r = zr - wr = rz - rw = r(z-w) , para todo r \in R

Assim z - w \in Z(R) ;

(iv) Sejam z, w \in Z(R) . Então

(zw)r = z(wr) = z(rw) = (zr)w = (rz)w = r(zw) , para todo r \in R

Assim zw \in Z(R) .

Portanto, Z(R) é um subanel de R . ♣

Cálculo

» Teorema da Função Inversa: Sejam A \subseteq \mathbb{R}^n aberto e f: A \rightarrow \mathbb{R}^n uma função de classe C^{k} , k ≥ 1. Se x \in A é tal que Jf(x) \neq 0 , então existe um aberto U \subseteq A contendo x de forma que f(U) é um aberto de \mathbb{R}^n e f: U \rightarrow f(U) é um difeomorfismo de classe C^{k} . ♣

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5 respostas em “Teorema

  1. Pingback: O Início « Morfismo

  2. Pingback: Comutatividade da multiplicação em Anéis « Morfismo

  3. Boa noite pessoal!!!
    Por que não se faz mais atualização deste blog??
    Achei muito interessante os temas abordados nele e gostaria de ajudá-los de alguma forma.
    Abraço.
    Hedimilton Almeida

    • Hedimilton,

      na época em que eu era apenas aluno de pós, até conseguia mantê-lo atualizado, mas depois que comecei a lecionar também (atualmente sou doutorando em matemática e professor), meu tempo ficou muito escasso.

      Seria muito interessante contar com a sua ajuda. Use o formulário de Contato – https://morfismo.wordpress.com/contato – para falar um pouco mais de como pensa em me ajudar: o que você estuda; se ensina; já tem um blog; que tipo de ajuda você pretende oferecer; etc

      Abraço,
      Francisco

      • Boa tarde.

        Sou engenheiro eletrico e gostaria de poder ajudar a difundir os conhecimentos em matematica. Como podemos novamente manter este site atualizado? Como posso ajuda?

        Adilson

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