Furo na prova de Xian-Jin Li para Hipótese de Riemann

O matemático Terence Tao, ganhador da medalha Fields em 2006, aponta “furo” na prova de Xian-Jin Li para a famosa Hipótese de Riemann.

Segundo Tao, a equação (6.9), da página 20 do artigo, é impossível!

Abaixo algumas palavras de Terence Tao sobre o furo na equação (6.9):

It unfortunately seems that the decomposition claimed in equation (6.9) on page 20 of that paper is, in fact, impossible; it would endow the function h (which is holding the arithmetical information about the primes) with an extremely strong dilation symmetry which it does not actually obey. It seems that the author was relying on this symmetry to make the adelic Fourier transform far more powerful than it really ought to be for this problem.

Que pena …

PS.: Veja o post abaixo!

Prova da Hipótese de Riemann?

Será que provaram a Hipótese de Riemann?

Acabo de ler em barrapunto ( às 22h04 de 02 de Julho de 2008 ) uma notícia que me deixou boquiaberto. Xian-Jin Li disponibilizou um artigo no arXiv intitulado “A proof of Riemann hipothesis” (Uma demonstração da Hipótese de Riemann). O problema é provavelmente um dos mais importantes do milênio, juntamente com a Conjectura de Ponicaré.

Esperemos o processo de revisão - que em princípio será longo, a menos que se encontre algum “erro pronto” - para ver o veredito final.

Abaixo algumas palavras do Xian-Jin Li:

By using Fourier analysis on number fields, we prove in this paper E. Bombieri’s refinement of A. Weil’s positivity condition, which implies the Riemann hypothesis for the Riemann zeta function in the spirit of A. Connes’ approach to the Riemann hypothesis.

Comutatividade da multiplicação em Anéis

Voltamos a falar sobre comutatividade em um anel, só que desta vez, comutatividade da “multiplicação”.

Seja um anel. Mostraremos que é comutativo sempre que , para todo , onde

.

Observe que para mostrar que um dado anel é comutativo, é suficiente verificar que . Mas é claro que é um subconjunto de . Donde, restanos “apenas” verificar que .

Para tal, sejam e considere . Temos por hipótese que

•

Agora dado que e é um subanel (consulte a página Teorema) de , segue de • que . Logo,

,

ou seja, . Dado que esta última igualdade é verdadeira para todo , segue que . E, portanto, para todo . O que conclui nossa tese!

Novamente… você leitor, seria capaz de dar uma prova diferente da nossa para tal probleminha?

Comutatividade da adição em Anéis

O intuito deste artigo é mostrar que a exigência da comutatividade da operação de adição (+) em um anel qualquer é desnecessária, desde que o anel tenha unidade, ou seja, a propriedade pode ser provada a partir dos outros axiomas.

De fato, dados , expandiremos o produto de duas formas diferentes, usando as propriedades distributiva e associativa do anel.

»

•

»

••

Igualando • e ••

.

Como é um grupo sobre a adição (+), podemos cancelar do lado esquerdo e do lado direito, de cada lado da igualdade acima. Donde, obteremos

.

Você leitor seria capaz de dar uma outra solução para o problema acima?

A Lenda do Problema Insolúvel

Quem nunca ouviu falar da história do gênio precoce que, no 1º ano da Faculdade, resolveu uma equação que “nem Einstein era capaz de resolver” porque chegou atrasado à aula? Eis uma lenda acadêmica que, de forma aproximada, abaixo se reproduz:

Um jovem estudante da Faculdade estava a estudar intensamente para uma exigente cadeira (disciplina) de Matemática. Na noite antes do exame final ficou estudando até muito tarde, de forma que chegou atrasado ao exame.

Quando entrou em sala, viu três problemas escritos no quadro. Resolveu os dois primeiros sem grandes dificuldades, mas o terceiro parecia intratável, não cedendo a quaisquer técnicas. Finalmente, dez minutos antes de o exame acabar, encontrou um método que funcionava. Resolveu o problema e entregou o exame completo.

Unicidade do Elemento Neutro

Dado um grupo , sabe-se que existe (por definição!) um elemento tal que

(1) para todo .

Tal elemento é único! De fato, se possui a propriedade (1), ou seja,

(2) , para todo ,

temos então que , onde a primeira igualdade é obtida tomando-se em (2) e a segunda tomando-se em (1).

Nunca vi esta prova em nenhum livro de álgebra (abstrata). Talvez por ser muito simples!!! Você, leitor, seria capaz de postar uma prova para a unicidade de um elemento inverso de ? Isto é, dado , mostrar que existe único tal que . Observe que queremos a prova somente da unicidade, pois a existência é dada pela definição de grupo.