The Abel Prize 2009

Mikhail Leonidovich Gromov - Foto: Gérard Uferas

Ganhador do The Abel Prize 2009

por suas revolucionárias contribuições à Geometria

Mikhail L. Gromov duante a cerimônia de distribuição do prêmio - Foto: Jean-François Dars

Gromov - Foto: Jean-François Dars

Professor Permanente do Institut des Hautes Études Scientifiques, França

O Precioso

Mais informações em www.abelprisen.no/en/prisvinnere/2009/

Nota:

O Prêmio Abel tem sido distribuído a cada ano desde 2003 e reconhece contribuições de profundidade extraordinária e influência na matemática. O prêmio soma equivalente a NOK 6 000 000 (aprox. R$ 2 100 000). Mikhail L. Gromov receberá o prêmio da Majestade Rei Harald numa cerimônia em Oslo no dia 19 de maio deste ano.

Gromev está entre os matemáticos contemporâneos mais marcantes. É conhecido por suas contribuições em muitas áreas da matemática, e particularmente à geometria. A geometria passou por um grande desenvolvimento nos últimos 50 anos, e Gromov foi um líderes.

Segundo o Comitê:

… Mikhail Gromov sempre está persuadindo novas questões e sempre pensa em novas idéias para problemas antigos. Ele produziu um trabalho profundo e original durante sua carreira, e tem uma criatividade marcante. O trabalho de Gromov continuará sendo uma fonte de inspiração para muitas futuras descobertas na matemática.

Fonte: Embaixada da Noruega no Brasil.

Re: Categoria dos anéis com involução [Atualizado]

No artigo Categoria dos anéis com involução fizemos a pergunta seguinte:

Será que existem anéis com involução e e um homomorfismo de anéis com involução, , onde e com ou ?

A resposta é SIM!

De fato, sejam o anel das matrizes, sobre um corpo , de ordem , o homomorfismo (de anéis) identidade e a função definida por:

onde denota a transposta da matriz . Não é dificil verificar que é uma involução.

Nestas condições, tomemos os seguintes homomorfismos de anéis com involução:

  e  ,

onde aqui estou considerando como homo de anéis e como uma involução.

NOTA: Ao terminar este artigo, encontrei um erro… mas para não perder meu trabalho, resolvi publicá-lo e deixar que vocês encontrem-o!

Ou seja, a pergunta acima continua sem resposta…

[Atualização: 17-4-09 às 11h10] Como já encontrei uma resposta para a pergunta acima, vou revelar o erro neste contra-exemplo:

Erro: Aplicação identidade não é um homomorfismo entre anéis com involução que não sejam comutativos (verifique isso!).

Solução: Com base no erro acima, não foi tão complicado “arrumar” este contra-exemplo. De fato, basta trocar o anel da matrizes pelo anel do números complexos e a aplicação pela aplicação, de em , que associa a cada número complexo o seu conjugado. (Verifique isso também!).

Espero que desta vez não haja erros!

Categoria dos anéis com involução

Vou continuar falando de alguns problemas que “ando” encontrando no meu breve estudo sobre Teoria de Categorias.

Antes de mais nada, acho que seria interessante lembrar ao leitor alguns conceitos. Para tanto, iniciarei com duas definições:

Definição Sejam e dois aneis (com unidade). Uma aplicação é chamada de anti-homomorfismo se ela possui as três seguintes propriedades:

1. , para todos
2. , para todos
3. 

Observe que a única diferença entre um anti-homomorfismo e um homomorfismo é a propriedade 2.

Definição Um anel com involução é uma dupla , onde é um anel (com unidade) e  é um anti-homorfismo cujo quadrado é igual a aplicação identidade de , ou seja, . (O automorfismo é chamado de involução sobre o anel ) Um homomorfismo de anéis com involução e é uma aplicação satisfazendo as duas seguintes condições:

1. é homomorfismo de anéis
2. 

Com as definições acima, estamos aptos a apresentar nosso problema:

Problema Será que existem anéis com involução e e um homomorfismo de anéis com involução, , onde e com ou ?

Note que podemos reformular este problema acima da seguinte maneira:

Será que existem homomorfismos de anéis e involuções e tais que

e , com ?

Mas o leitor pode está se perguntando o que isto tem a ver com teoria de categorias! É fácil explicar:

Se este problema possui um não como resposta podemos concluir, por exemplo, que os seguintes dados formam um categoria:

• Objetos: A classe dos anéis com involução;
• Morfismos: Os homomorfismos de anéis com involução;
• Composição: Obtida naturalmente pela composição dos homomorfismos de anéis;
• Identidade: .

Precisamos de um não como resposta ao problema para concluir que sempre que o par de objetos for diferente do par .

É isso…

Um epi que não é sobrejetivo

Falando ainda sobre a questão da “unicidade” dos contra-exemplos [veja o este post] …

Quando estuda-se Teoria de Categorias temos a oportunidade conhecer os conceitos de epimorfismo (também chamado de epic morphism ou simplesmente epi) e de monomorfismo (também chamado de monic morphism ou simplesmente mono). Por exemplo, na categoria dos conjuntos, muitas vezes denotada por Set, toda sobrejeção (resp., injeção) é um epi (resp., mono). Este resultado também é válido na categorias dos anéis (Ring). Então uma questão natural seria a seguinte:

Ignorância Matemática

Como mostra a figura (clique para ver melhor), um tribunal português “reduziu” uma penhora de 1/6 para 1/5. Só vendo, pois de outra forma “ninguém” acreditaria …

[via: De Rerum Natura]

Subgrupo Normal

Dentre as várias coisas difíceis na matemática, na minha opinião, os “contra-exemplos” ocupam um lugar de destaque. Em muitos casos, a comunidade matemática sabe da existência de um número pequeno destes para um(a) determinado(a) problema (pergunta).

Nesta última terça-feira (03 de março), depois de uma aula que assisti num curso de álgebra, fiquei inculcado com um contra-exemplo dado pelo professor.

A questão era seguinte: