Morfismo

A complexidade da simplicidade

Publicado: 2 / agosto / 2012 em off-topic
Tags:Euclides, matemática, math, offtopic

Arquivo pessoal – Foto: IME-USP

Se fala tanto por aí de simplicidade que o tema parece ser complexo demasiado para nós mortais. E é!

Gosto muito da frase, abaixo, do poeta e filósofo Khalil Gibran que exprime em poucas palavras o simples:

A simplicidade é o último degrau da sabedoria.

Os cientistas costumam defender que a teoria mais simples é sempre a melhor. E na matemática, considerada por muitos a mãe de todas as ciências, não poderia ser diferente: a solução matemática mais simples é a mais elegante e a preferida por nós estudantes e admiradores do belo. Aqui, na matemática e na ciência, menos é mais.

A complexidade: não é tarefa fácil fazer matemática simples, ou, em outros casos, torná-la simples. Em geral, isso é tarefa simples somente para os gênios.

Acho que um bom exemplo de simplicidade na matemática é a demonstração dada por Euclides para o infinitude do conjunto dos números primos, a qual é considerada, até hoje, um modelo de raciocínio matemático.

E você, conhece algum exemplo? Se sim, compartilhe conosco!

Até a próxima.

Teorema de Dubnov-Ivanov-Nagata-Higman

Publicado: 3 / abril / 2011 em Álgebra, Sala de Estudo
Tags:álgebras graduadas, conjectura, Dubnov-Ivanov-Nagata-Higman, Higman, Kuzmin, Razmyslov, super-álgebras, Vaughan-Lee

Estou cursando uma disciplina (na área de Álgebra) chamada ‘Super-Álgebras‘. Estas álgebras têm se mostrado uma ótima ferramenta para “atacar” diversos problemas da matemática e da física. O que tem me chamado a atenção é a quantidade de problemas em aberto que têm aparecido durante as aulas deste curso. Lembro que desde a segunda aula, eles já deram as caras. Alguns com enunciados complicados e outros bem simples de entender. E é destes últimos que falarei aqui.

Boa parte do avanço na busca da prova da conjectura que enunciarei abaixo tem sido na linha de super-álgebras.

Seja A uma álgebra associativa sobre um corpo F de característica 0 que satisfaz a identidade $x^n = 0$ . O Teorema de Dubnov-Ivanov-Nagata-Higman diz que A é nilpotente, ou seja, existe N tal que $x_1 x_2 \cdots x_N = 0$ para todos $x_1, x_2, \dots, x_N \in A$ (veja [1] e [2]). Assim, se $x^n = 0$ então $x_1 \cdots x_N$ para algum N que, naturalmente, depende de n. Neste caso, escreveremos N = f(n). A prova do Teorema de Dubnov-Ivanov-Nagata-Higman não é um prova construtiva e, portanto, não se determina o valor N. Mas Nagata encontrou um limitante para N, a saber $N = f(n) \leq 2^n - 1$ .

Mas existem alguns resultados que estabelecem uma estimativa ainda melhor para N. Razmyslov em [4] melhorou* esse grau de nilpotência para n², ou seja, provou que f(n) ≤ n². Já Kuzmin provou em [3] que f(n) ≥ n(n+1)/2 e conjecturou que vale a igualdade f(n) = n(n+1)/2. Não é difícil verificar** que a conjectura de Kuzmin é verdadeira para n = 2, ou seja, f(2) = 3. Além disso, os resultados de Higman garantem a validade da conjectura para n = 3, isto é, f(3) = 6. Vaughan-Lee usou métodos computacionais, em [5], para provar que f(4) = 10.

Mas já o caso n = 5 ainda está em aberto, ou seja, ninguém provou ou apresentou um contra-exemplo para a igualdade f(5) = 15. O professor da disciplina, Ivan Chestakov, disse que ia colocar esse “probleminha” na próxima lista de exercícios e resolveu avisar antes que talvez dê bastante trabalho pra gente.

(*) $n^2 < 2^n - 1$ , sempre que n > 5.

(**) Faremos esse exercício num próximo post.

Referências:

[1] J. Dubnov, V. Ivanov, Sur l’abaissement du degr ́e des polynômes en affineurs, (French) C. R. (Doklady) Acad. Sci. URSS (N. S.) 41 (1943), 95-98.

[2] G. Higman, On a conjecture of Nagata, Proc. Cambridge Philos. Soc. 52 (1956), 1-4.

[3] E. N. Kuzmin, On the Nagata-Higman theorem, Mathematical Structures – Computational Mathematics – Mathematical Modeling. Proceed- ings dedicated to the sixtieth birthday of Academician L. Iliev, Sofia, 1975, 101-107.

[4] Yu. P. Razmyslov, Trace identities of full matrix algebras over a field of characteristic zero, Izv. Akad. Nauk SSSR, 38 (1974), 723-756; English transl. Math USSR Izv. 8 (1974), 727-760.

[5] M. Vaughan-Lee, An algorithm for computing graded algebras, J. Symbolic Computation, 16 (1993), 354-354.

Problema de cálculo

Publicado: 28 / março / 2011 em cálculo, Sala de Estudo, topologia
Tags:função contínua, problema

Na época em que fiz a gradução lembro que o professor de análise matemática propôs o probleminha abaixo. Agora estou cursando uma disciplina de topologia na pós-gradução e o tal o probleminha apareceu novamente. Então resolvi compartilhar com vocês esse problema tão comum em cursos que, de alguma forma, estudam continuidade de funções. Para abranger um público maior e deixar a solução com uma linguagem comum àquela encontrada em livros de cálculo, resolvi então não utilizar nomenclatura de topologia nos resultados usados para a resolução do problema. Vamos ao enunciado do problema:

Seja $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ uma função contínua que preserva a soma, ou seja, $f(x+y) = f(x) + f(y),$ quaisquer que sejam os valores reais de $x, y$ . Então existe $\lambda \in \mathbb{R}$ tal que $f(x) = \lambda \cdot x$ , para todo $x \in \mathbb{R}$ .

Vamos dividir a solução do problema em várias etapas. A ideia básica é mostrar que a funçã o $f$ com a propriedade acima é uma função linear quando restrita ao conjunto $\mathbb{Q}$ dos números racionais. Uma vez mostrado isso, usaremos o seguinte fato (trocando D por $\mathbb{Q}$ ):

Lema*: Sejam $f, g \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ duas funções contínuas. Se existe um conjunto D denso em $\mathbb{R}$ tal que $f(x) = g(x)$ , para todo $x$ em D, então $f = g$ em $\mathbb{R}$ .

O resultado acima, no fundo, diz o seguinte: se duas funções (reais) contínuas coincidem num conjunto denso, então elas são iguais. Ou ainda, para que duas funções (reais) contínuas sejam iguais, basta que elas coincidam num conjunto denso em $\mathbb{R}$ .

Solução:

Passo 1. $f(0) = f(0+0) = f(0) + f(0) \Rightarrow f(0) = 0$

Passo 2. $f(2) = f(1+1) = f(1) + f(1) = 2\cdot f(1)$

Por indução finita, segue que:

$n \in \mathbb{N}: f(n) = f(1 + (n-1)) = f(1) + f(n-1) = f(1) + (n-1)f(1) = nf(1)$

Passo 3. $0 = f(0) = f(x - x) = f(x) + f(-x) \Rightarrow f(-x) = - f(x)$ , para todo $x \in \mathbb{R}$

Juntando os passos 2 e 3 podemos concluir que $f(z) = z\cdot f(1)$ , para todo $z \in \mathbb{Z}$ .

Passo 4. $n \in \mathbb{N}: f(1) = f(n \cdot \frac{1}{n}) = f(\frac{1}{n}) + \dots + f(\frac{1}{n}) = n \cdot f(\frac{1}{n}) \Rightarrow f(\frac{1}{n}) = \frac{1}{n} \cdot f(1)$

Passo 5. $m,n \in \mathbb{N}: f(m/n) = f(m\cdot \frac{1}{n}) = f(\frac{1}{n}) + \dots + f(\frac{1}{n}) = m \cdot f(\frac{1}{n}) = m \cdot \frac{1}{n} \cdot f(1)$ . Logo, $f(m/n) = \frac{m}{n} \cdot f(1)$ .

Juntando os passos 3 e 5 podemos concluir que $f(q) = q\cdot f(1)$ , para todo $q \in \mathbb{Q}$ .

Passo 6. Definindo a função $g\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ por $g(x) = \lambda x$ , para todo $x \in \mathbb{R}$ , onde $\lambda=f(1)$ , tem-se que $g$ é uma função contínua (por quê?). Além disso, $g(q) = f(1) \cdot q = f(q)$ , para todo $q\in \mathbb{Q}$ , ou seja, $f$ e $g$ coincidem em $\mathbb{Q}$ .

Usando o passo 6 e o Lema acima, podemos concluir que $f(x) = \lambda \cdot x$ , para todo $x \in \mathbb{R}$ , onde $\lambda = f(1)$ . $\blacksquare$

É isso…

(*) Para aqueles que já fizeram um curso de topologia, devem saber que o Lema acima poderia ter sido enunciado da seguinte forma:

Lema: Sejam $(X, \sigma)$ e $(Y,\sigma')$ dois espaços topológicos, onde o espaço $(Y, \sigma')$ verifica o axioma $T_2$ (Hausdorff) e existe $D \subset X$ denso em $X$ . Se $f,g \colon X \to Y$ são duas funções contínuas tais que $f(t) = g(t)$ , para todo $t \in D$ , então $f = g$ .

Prêmio Abel 2011

Publicado: 23 / março / 2011 em Notícia
Tags:The Abel Prize

O texto abaixo foi retirado, integralmente, do site http://www.abelprisen.no/en

Notem que a tradução foi feita para o português de Portugal.

John Milnor

A Academia Norueguesa de Ciências e Letras decidiu conceder o Prémio Abel de 2011 a John Willard Milnor
(Instituto de Ciências Matemáticas, Universidade de Stony Brook, Nova Iorque),

pelas suas descobertas pioneiras em topologia, geometria e álgebra.

Toda a obra de Milnor revela as características da investigação científica por excelência: profunda percepção, fecunda imaginação, elementos de surpresa e beleza suprema.

A descoberta por Milnor das esferas suaves exóticas de dimensão sete foi completamente inesperada, marcando uma entrada gloriosa da topologia diferencial no cenário científico e levando a uma explosão de trabalhos feitos por uma geração de matemáticos brilhantes. Esta explosão, que dura há décadas, transformou o panorama da Matemática. Em parceria com Michel Kervaire, Milnor passou a dedicar-se à compilação do inventário completo das estruturas diferenciáveis distintas em esferas de todas as dimensões, demonstrando, em particular, que a esfera da dimensão sete comporta exactamente 28 estruturas diferenciáveis distintas. Os dois foram entre os primeiros a identificar a natureza particular das variedades quadridimensionais, antecipando avanços fundamentais na topologia.

A derrubada por Milnor da consagrada Hauptvermutung anulou as expectativas referentes à topologia combinatória que remontam a Poincaré. Milnor descobriu também as variedades suaves homeomorfas com fibrados tangentes não isomorfos, para as quais desenvolveu a teoria de microfibrados. Na teoria de variedades de dimensão três, provou um elegante teorema de factorização única.

Fora da topologia, Milnor fez contribuições significativas para a geometria diferencial, a álgebra e os sistemas dinâmicos. Em todas as disciplinas que Milnor abordou, as suas descobertas e enfoques tiveram um impacto profundo sobre o desenvolvimento que se seguiu nestas áreas. A sua monografia sobre singularidades isoladas de hipersuperfície é considerada a obra mais influente na teoria das singularidades, e a ela devemos o número de Milnor e a fibração de Milnor.

Os topólogos começaram a usar activamente as álgebras e co-álgebras de Hopf depois da decisiva obra de Milnor e J. C. Moore. Milnor, por sua vez, concebeu novas ideias sobre as estruturas das álgebras de Steenrod (das operações cohomológicas) a partir da teoria das álgebras de Hopf. Na teoria K algébrica, Milnor introduziu o functor de grau dois. A sua célebre conjectura sobre o functor ― enfim provada por Voevodsky – deu impulso a novos rumos no estudo dos motivos da geometria algébrica. A apresentação por Milnor do invariante de crescimento de grupo ligou a teoria do grupo combinatório à geometria, prefigurando a teoria de Gromov sobre grupos hiperbólicos.

Mais recentemente, John Milnor voltou a sua atenção para os sistemas dinâmicos em dimensões baixas. Em parceria com Thurston, criou a “teoria conhecida como “nrsfinh”” para as aplicações do intervalo, formulando os fundamentos combinatórios para a dinâmica do intervalo e dando origem a um foco de intensas pesquisas durante três décadas. A conjectura de Milnor e Thurston sobre a monotonicidade da entropia levou a esforços para compreender plenamente a dinâmica da família quadrática real, unindo a dinâmica real e complexa de forma profunda e provocando avanços apaixonantes em sistemas dinâmicos.

Milnor é um divulgador maravilhosamente talentoso da Matemática sofisticada. Aborda com frequência assuntos difíceis de vanguarda, sem qualquer descrição prévia na literatura. Apresentando ideias originais, tem produzido numerosas obras de uma lucidez magistral que são sempre actuais e duradouras. Como um inspirado compositor musical que também é um intérprete carismático, John Milnor personifica tanto o descobridor quanto o divulgador.

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