Teorema de Dubnov-Ivanov-Nagata-Higman

Publicado: 3 / abril / 2011 em Álgebra, Sala de Estudo
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Estou cursando uma disciplina (na área de Álgebra) chamada ‘Super-Álgebras‘. Essas álgebras têm se mostrado uma ótima ferramenta para “atacar” diversos problemas da matemática e da física. O que tem me chamado a atenção é a quantidade de problemas abertos que têm aparecido durante as aulas deste curso. Lembro que desde a segunda aula, eles já deram as caras. Alguns com enunciados complicados e outros bem simples de entender. E é destes últimos que falarei aqui. Boa parte do avanço na busca da prova da conjectura abaixo tem sido na linha de super-álgebras.

Seja A uma álgebra associativa sobre um corpo F de característica 0 que satisfaz a identidade x^n = 0. O Teorema de Dubnov-Ivanov-Nagata-Higman diz que A é nilpotente, ou seja, existe N tal que x_1 x_2 \cdots x_N = 0 para todos x_1, x_2, \dots, x_N \in A, veja [1] e [2]. Assim, se x^n = 0 então x_1 \cdots x_N para algum N que, naturalmente, depende de n. Neste caso, escreveremos N = f(n). A prova do Teorema de Dubnov-Ivanov-Nagata-Higman não é um prova construtiva e, portanto, não se determina o valor N. Na verdade, Nagata provou que N = f(n) \leq 2^n - 1.

Mas existem alguns resultados que estabelecem uma estimativa melhor para N. Razmyslov em [4] melhorou* esse grau de nilpotência para n², ou seja, provou que f(n) ≤ n². Já Kuzmin provou em [3] que f(n) ≥ n(n+1)/2 e conjecturou que vale a igualdade f(n) = n(n+1)/2. Não é difícil verificar** que a conjectura de Kuzmin é verdadeira para n = 2, ou seja, f(2) = 3. Além disso, os resultados de Higman garantem a validade da conjectura para n = 3, isto é, f(3) = 6. Vaughan-Lee usou métodos computacionais, em [5], para provar que f(4) = 10.

Mas já o caso n = 5 ainda está em aberto, ou seja, ninguém provou ou mostrou um contra-exemplo para a afirmação de que f(5) = 15. O professor da disciplina disse que ia colocar esse “probleminha” na próxima lista de exercícios e resolveu avisar antes que talvez dê bastante trabalho pra gente.

(*) n^2 < 2^n - 1, sempre que n > 5.

(**) Faremos esse exercício num próximo post.

Referências:

[1] J. Dubnov, V. Ivanov, Sur l’abaissement du degr ́e des polynômes en affineurs, (French) C. R. (Doklady) Acad. Sci. URSS (N. S.) 41 (1943), 95-98.

[2] G. Higman, On a conjecture of Nagata, Proc. Cambridge Philos. Soc. 52 (1956), 1-4.

[3] E. N. Kuzmin, On the Nagata-Higman theorem, Mathematical Structures – Computational Mathematics – Mathematical Modeling. Proceed- ings dedicated to the sixtieth birthday of Academician L. Iliev, Sofia, 1975, 101-107.

[4] Yu. P. Razmyslov, Trace identities of full matrix algebras over a field of characteristic zero, Izv. Akad. Nauk SSSR, 38 (1974), 723-756; English transl. Math USSR Izv. 8 (1974), 727-760.

[5] M. Vaughan-Lee, An algorithm for computing graded algebras, J. Sym- bolic Computation, 16 (1993), 354-354

Problema de cálculo

Publicado: 28 / março / 2011 em cálculo, Sala de Estudo, topologia
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Na época em que fiz a gradução lembro que o professor de análise matemática propôs o probleminha abaixo. Agora estou cursando uma disciplina de topologia na pós-gradução e o tal o probleminha apareceu novamente. Então resolvi compartilhar com vocês esse problema tão comum em cursos que, de alguma forma, estudam continuidade de funções. Para abranger um público maior e deixar a solução com uma linguagem comum àquela encontrada em livros de cálculo, resolvi então não utilizar nomenclatura de topologia nos resultados usados para a resolução do problema. Vamos ao enunciado do problema:

Seja f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} uma função contínua que preserva a soma, ou seja, f(x+y) = f(x) + f(y), quaisquer que sejam os valores reais de x, y. Então existe \lambda \in \mathbb{R} tal que f(x) = \lambda \cdot x, para todo x \in \mathbb{R}.

Vamos dividir a solução do problema em várias etapas. A ideia básica é mostrar que a funçã o f com a propriedade acima é uma função linear quando restrita ao conjunto \mathbb{Q} dos números racionais. Uma vez mostrado isso, usaremos o seguinte fato (trocando D por \mathbb{Q}):

Lema*: Sejam f, g \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} duas funções contínuas. Se existe um conjunto D denso em \mathbb{R} tal que f(x) = g(x), para todo x em D, então f = g em \mathbb{R}.

O resultado acima, no fundo, diz o seguinte: se duas funções (reais) contínuas coincidem num conjunto denso, então elas são iguais. Ou ainda, para que duas funções (reais) contínuas sejam iguais, basta que elas coincidam num conjunto denso em \mathbb{R}.

Solução:

Passo 1. f(0) = f(0+0) = f(0) + f(0) \Rightarrow f(0) = 0

Passo 2. f(2) = f(1+1) = f(1) + f(1) = 2\cdot f(1)

Por indução finita, segue que:

n \in \mathbb{N}: f(n) = f(1 + (n-1)) = f(1) + f(n-1) = f(1) + (n-1)f(1) = nf(1)

Passo 3. 0 = f(0) = f(x - x) = f(x) + f(-x) \Rightarrow f(-x) = - f(x), para todo x \in \mathbb{R}

Juntando os passos 2 e 3 podemos concluir que f(z) = z\cdot f(1), para todo z \in \mathbb{Z}.

Passo 4. n \in \mathbb{N}: f(1) = f(n \cdot \frac{1}{n}) = f(\frac{1}{n}) + \dots + f(\frac{1}{n}) = n \cdot f(\frac{1}{n}) \Rightarrow f(\frac{1}{n}) = \frac{1}{n} \cdot f(1)

Passo 5. m,n \in \mathbb{N}: f(m/n) = f(m\cdot \frac{1}{n}) = f(\frac{1}{n}) + \dots + f(\frac{1}{n}) = m \cdot f(\frac{1}{n}) = m \cdot \frac{1}{n} \cdot f(1). Logo, f(m/n) = \frac{m}{n} \cdot f(1).

Juntando os passos 3 e 5 podemos concluir que f(q) = q\cdot f(1), para todo q \in \mathbb{Q}.

Passo 6. Definindo a função g\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} por g(x) = \lambda x, para todo x \in \mathbb{R}, onde \lambda=f(1), tem-se que g é uma função contínua (por quê?). Além disso, g(q) = f(1) \cdot q = f(q), para todo q\in \mathbb{Q}, ou seja, f e g coincidem em \mathbb{Q}.

Usando o passo 6 e o Lema acima, podemos concluir que f(x) = \lambda \cdot x, para todo x \in \mathbb{R}, onde \lambda = f(1). \blacksquare

É isso…

(*) Para aqueles que já fizeram um curso de topologia, devem saber que o Lema acima poderia ter sido enunciado da seguinte forma:

Lema: Sejam (X, \sigma) e (Y,\sigma') dois espaços topológicos, onde o espaço (Y, \sigma') verifica o axioma T_2 (Hausdorff) e existe D \subset X denso em X. Se f,g \colon X \to Y são duas funções contínuas tais que f(t) = g(t), para todo t \in D, então f = g.

 

Prêmio Abel 2011

Publicado: 23 / março / 2011 em Notícia
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O texto abaixo foi retirado, integralmente, do site http://www.abelprisen.no/en

Notem que a tradução foi feita para o português de Portugal.

 

John Milnor

A Academia Norueguesa de Ciências e Letras decidiu conceder o Prémio Abel de 2011 a John Willard Milnor
(Instituto de Ciências Matemáticas, Universidade de Stony Brook, Nova Iorque),

pelas suas descobertas pioneiras em topologia, geometria e álgebra.

 

Toda a obra de Milnor revela as características da investigação científica por excelência: profunda percepção, fecunda imaginação, elementos de surpresa e beleza suprema.

A descoberta por Milnor das esferas suaves exóticas de dimensão sete foi completamente inesperada, marcando uma entrada gloriosa da topologia diferencial no cenário científico e levando a uma explosão de trabalhos feitos por uma geração de matemáticos brilhantes. Esta explosão, que dura há décadas, transformou o panorama da Matemática. Em parceria com Michel Kervaire, Milnor passou a dedicar-se à compilação do inventário completo das estruturas diferenciáveis distintas em esferas de todas as dimensões, demonstrando, em particular, que a esfera da dimensão sete comporta exactamente 28 estruturas diferenciáveis distintas. Os dois foram entre os primeiros a identificar a natureza particular das variedades quadridimensionais, antecipando avanços fundamentais na topologia.

A derrubada por Milnor da consagrada Hauptvermutung anulou as expectativas referentes à topologia combinatória que remontam a Poincaré. Milnor descobriu também as variedades suaves homeomorfas com fibrados tangentes não isomorfos, para as quais desenvolveu a teoria de microfibrados. Na teoria de variedades de dimensão três, provou um elegante teorema de factorização única.

Fora da topologia, Milnor fez contribuições significativas para a geometria diferencial, a álgebra e os sistemas dinâmicos. Em todas as disciplinas que Milnor abordou, as suas descobertas e enfoques tiveram um impacto profundo sobre o desenvolvimento que se seguiu nestas áreas. A sua monografia sobre singularidades isoladas de hipersuperfície é considerada a obra mais influente na teoria das singularidades, e a ela devemos o número de Milnor e a fibração de Milnor.

Os topólogos começaram a usar activamente as álgebras e co-álgebras de Hopf depois da decisiva obra de Milnor e J. C. Moore. Milnor, por sua vez, concebeu novas ideias sobre as estruturas das álgebras de Steenrod (das operações cohomológicas) a partir da teoria das álgebras de Hopf. Na teoria K algébrica, Milnor introduziu o functor de grau dois. A sua célebre conjectura sobre o functor ― enfim provada por Voevodsky – deu impulso a novos rumos no estudo dos motivos da geometria algébrica. A apresentação por Milnor do invariante de crescimento de grupo ligou a teoria do grupo combinatório à geometria, prefigurando a teoria de Gromov sobre grupos hiperbólicos.

Mais recentemente, John Milnor voltou a sua atenção para os sistemas dinâmicos em dimensões baixas. Em parceria com Thurston, criou a “teoria conhecida como “nrsfinh”” para as aplicações do intervalo, formulando os fundamentos combinatórios para a dinâmica do intervalo e dando origem a um foco de intensas pesquisas durante três décadas. A conjectura de Milnor e Thurston sobre a monotonicidade da entropia levou a esforços para compreender plenamente a dinâmica da família quadrática real, unindo a dinâmica real e complexa de forma profunda e provocando avanços apaixonantes em sistemas dinâmicos.

Milnor é um divulgador maravilhosamente talentoso da Matemática sofisticada. Aborda com frequência assuntos difíceis de vanguarda, sem qualquer descrição prévia na literatura. Apresentando ideias originais, tem produzido numerosas obras de uma lucidez magistral que são sempre actuais e duradouras. Como um inspirado compositor musical que também é um intérprete carismático, John Milnor personifica tanto o descobridor quanto o divulgador.

Eventos em 2011

Publicado: 24 / fevereiro / 2011 em off-topic
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∞ IX Seminário Nacional de História da Matemática (SNHM)
Local & Data
∞ UFS - Aracajú/SE
∞ de 17 a 20 de abril
Site
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∞ First International Conference on Topological Methods in Dynamical Systems

∞ UNICAMP – Campinas/SP ∞ 30 de maio a 03 de junho

∞ www.aquawebbr.com/tds2011

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∞ 28º Colóquio Brasileiro de Matemática

∞ IMPA, Rio de Janeiro/RJ ∞ 18 a 29 de julho

∞ www.impa.br

∞ coloquio@impa.br

Veja AQUI uma lista com todos os eventos promovidos pelo IMPA em 2011.

[Via SBM]

Doutorado no Canadá

Publicado: 23 / fevereiro / 2011 em Notícia
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Saiu uma nota na Agência FAPESP sobre um projeto de colaboração entre o Brasil – por intermédio da CAPES – e o Canadá para doutorandos brasileiros passarem seis meses por lá (ou canadenses passarem seis meses aqui no Brasil). É preciso um projeto de pesquisa com um professor coordenador e pode participar até cinco estudantes por projeto. Veja:

Agência FAPESP (23/02/2011) – Até 31de março, pesquisadores brasileiros e canadenses podem se inscrever para o programa de apoio a pesquisas colaborativas financiadas em parceria pelo Brasil e pelo Canadá. Trata-se do Bolsas Canadá–Brasil – Projetos Conjuntos de Pesquisa.

Destinado às instituições de nível superior, o programa tem como proposta estimular a colaboração entre equipes dos dois países.

O apoio será concedido pelo Governo do Canadá por meio do Escritório Canadense de Educação Internacional (CBIE). Serão financiados projetos de pesquisa conjuntos em áreas consideradas estratégicas, como governança democrática, geração de riqueza, segurança, ciência e tecnologia.

Para inscrever o projeto, é necessário formar uma equipe de pesquisa com um professor coordenador e no máximo cinco doutorandos. Cada aluno receberá terá um auxílio de cerca de 8 mil dólares canadenses para a estadia de seis meses no Canadá.

O professor coordenador do projeto poderá receber 3 mil dólares canadenses para fazer uma visita de dez dias ao país. A duração do projeto é de até 24 meses, compreendidos entre setembro de 2011 e setembro de 2013.

A expectativa dos responsáveis pela iniciativa é que os projetos resultem em mais publicações, intercâmbio científico e na intensificação da cooperação bilateral entre o Brasil e o Canadá.

Mais informações e inscrições (em inglês): www.scholarships-bourses.gc.ca/scholarships-bourses/can/institutions/brazil-cbjp-brezil.aspx?lang=eng.

Encontrei dois detalhes no site indicado pela Agência FAPESP:

  • A bolsa é de Can$ 8,4 mil e não Can$ 8,0 mil como diz a nota acima;
  • Cada projeto deve conter um número mínimo de três doutorandos e um professor coordenador.
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